欧拉路径，欧拉回路
存在欧拉路的条件:
无向图: 图连通，所有点都是偶数度，或者只有两个点是奇数度。当所有点是偶数度时欧拉路起点可以是任意
点；当有两个奇数度点时起点必须是奇数度点。
有向图: 图连通，所有点出度=入度，或者有一个点入度-出度=1，有一个点出度-入度=1。同样，当所有点
出度=入度时任意点可作为起点；而后者必须以出度-入度=1的点做起点，入度-出度=1的点做终点。
混合图：原来混合图欧拉回路用的是网络流。
把该图的无向边随便定向，计算每个点的入度和出度。如果有某个点出入度之差为奇数，那么肯定不存在欧拉回路。因为欧拉回路要求每点入度 = 出度，也就是总度数为偶数，存在奇数度点必不能有欧拉回路。
好了，现在每个点入度和出度之差均为偶数。那么将这个偶数除以2，得x。也就是说，对于每一个点，只要将x条边改变方向（入>出就是变入，出>入就是变出），就能保证出 = 入。如果每个点都是出 = 入，那么很明显，该图就存在欧拉回路。
现在的问题就变成了：我该改变哪些边，可以让每个点出 = 入？构造网络流模型。首先，有向边是不能改变方向的，要之无用，删。一开始不是把无向边定向了吗？定的是什么向，就把网络构建成什么样，边长容量上限1。另新建s和t。对于入 > 出的点u，连接边(u, t)、容量为x，对于出 > 入的点v，连接边(s, v)，容量为x（注意对不同的点x不同）。之后，察看是否有满流的分配。有就是能有欧拉回路，没有就是没有。欧拉回路是哪个？察看流值分配，将所有流量非 0（上限是1，流值不是0就是1）的边反向，就能得到每点入度 = 出度的欧拉图。
由于是满流，所以每个入 > 出的点，都有x条边进来，将这些进来的边反向，OK，入 = 出了。对于出 > 入的点亦然。那么，没和s、t连接的点怎么办？和s连接的条件是出 > 入，和t连接的条件是入 > 出，那么这个既没和s也没和t连接的点，自然早在开始就已经满足入 = 出了。那么在网络流过程中，这些点属于“中间点”。我们知道中间点流量不允许有累积的，这样，进去多少就出来多少，反向之后，自然仍保持平衡。
所以，就这样，混合图欧拉回路问题，解了。
例：HDU 1116
import java.io.*;
import java.util.*;
import java.math.*;
public class Main {
static final int MAXN = 10005;
static final int MAXM = 5005;
static final int MOD = 10000;
static final int INF = 1000000000;
static final double EPS = 1E-6;
static final int HASH = 10000;
int t, n, in[], out[], f[], u, v;
boolean vis[]; // 注意点的选取
String str;
void init() {
vis = new boolean[26];
in = new int[26];
out = new int[26];
f = new int[26];
for (int i = 0; i < 26; i++) f[i] = i;
}
int find(int x) {
if (x != f[x])
f[x] = find(f[x]);
return f[x];
}
void Union(int x, int y) {
x = find(x); y = find(y);
if (x == y) return;
f[x] = y;
}
void run() {
t = cin.nextInt();
while(t-- > 0) {
n = cin.nextInt();
init();
for (int i = 0; i < n; i++) {
str = cin.next();
u = str.charAt(0) - 'a';
v = str.charAt(str.length() - 1) - 'a';
vis[u] = vis[v] = true;
Union(u, v);
out[u]++; in[v]++;
}
int num, left, right, count;
num = left = right = count = 0;
for (int i = 0; i < 26; i++) {
if (vis[i] && find(i) == i) count++;
}
boolean flag = count == 1 ? true : false;
for (int i = 0; i < 26 && flag; i++) {
if (in[i] != out[i]) num++;
if (in[i] + 1 == out[i]) left++;
else if (in[i] == out[i] + 1) right++;
}
if (flag && (num == 0 || (num == 2 && left ==1 && right == 1))) System.out.println("Ordering is possible.");
else System.out.println("The door cannot be opened.");
}
}
public static void main(String[] args) {
Main solved = new Main();
solved.run();
}
Scanner cin = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
}
