欧拉路径,欧拉回路

存在欧拉路的条件:

无向图:  图连通,所有点都是偶数度,或者只有两个点是奇数度。当所有点是偶数度时欧拉路起点可以是任意

            点;当有两个奇数度点时起点必须是奇数度点。

有向图:  图连通,所有点出度=入度,或者有一个点入度-出度=1,有一个点出度-入度=1。同样,当所有点

            出度=入度时任意点可作为起点;而后者必须以出度-入度=1的点做起点,入度-出度=1的点做终点。

  混合图:原来混合图欧拉回路用的是网络流。  
  把该图的无向边随便定向,计算每个点的入度和出度。如果有某个点出入度之差为奇数,那么肯定不存在欧拉回路。因为欧拉回路要求每点入度 = 出度,也就是总度数为偶数,存在奇数度点必不能有欧拉回路。  
  好了,现在每个点入度和出度之差均为偶数。那么将这个偶数除以2,得x。也就是说,对于每一个点,只要将x条边改变方向(入>出就是变入,出>入就是变出),就能保证出 = 入。如果每个点都是出 = 入,那么很明显,该图就存在欧拉回路。  
  现在的问题就变成了:我该改变哪些边,可以让每个点出 = 入?构造网络流模型。首先,有向边是不能改变方向的,要之无用,删。一开始不是把无向边定向了吗?定的是什么向,就把网络构建成什么样,边长容量上限1。另新建s和t。对于入 > 出的点u,连接边(u, t)、容量为x,对于出 > 入的点v,连接边(s, v),容量为x(注意对不同的点x不同)。之后,察看是否有满流的分配。有就是能有欧拉回路,没有就是没有。欧拉回路是哪个?察看流值分配,将所有流量非 0(上限是1,流值不是0就是1)的边反向,就能得到每点入度 = 出度的欧拉图。  
  由于是满流,所以每个入 > 出的点,都有x条边进来,将这些进来的边反向,OK,入 = 出了。对于出 > 入的点亦然。那么,没和s、t连接的点怎么办?和s连接的条件是出 > 入,和t连接的条件是入 > 出,那么这个既没和s也没和t连接的点,自然早在开始就已经满足入 = 出了。那么在网络流过程中,这些点属于“中间点”。我们知道中间点流量不允许有累积的,这样,进去多少就出来多少,反向之后,自然仍保持平衡。  
所以,就这样,混合图欧拉回路问题,解了。

 

例:HDU 1116

import java.io.*;

import java.util.*;

import java.math.*;

 

public class Main {

 

static final int MAXN = 10005;

static final int MAXM = 5005;

static final int MOD = 10000;

static final int INF = 1000000000;

static final double EPS = 1E-6;

static final int HASH = 10000;

 

int t, n, in[], out[], f[], u, v;

boolean vis[]; // 注意点的选取

String str;

 

void init() {

vis = new boolean[26];

in = new int[26];

out = new int[26];

f = new int[26];

for (int i = 0; i < 26; i++) f[i] = i;

}

 

int find(int x) {

if (x != f[x])

f[x] = find(f[x]);

return f[x];

}

 

void Union(int x, int y) {

x = find(x); y = find(y);

if (x == y) return;

f[x] = y;

}

 

void run() {

t = cin.nextInt();

while(t-- > 0) {

n = cin.nextInt();

init();

for (int i = 0; i < n; i++) {

str = cin.next();

u = str.charAt(0) - 'a';

v = str.charAt(str.length() - 1) - 'a';

vis[u] = vis[v] = true;

Union(u, v);

out[u]++; in[v]++;

}

int num, left, right, count;

num = left = right = count = 0;

for (int i = 0; i < 26; i++) {

if (vis[i] && find(i) == i) count++;

}

boolean flag = count == 1 ? true : false;

for (int i = 0; i < 26 && flag; i++) {

if (in[i] != out[i]) num++;

if (in[i] + 1 == out[i]) left++;

else if (in[i] == out[i] + 1) right++;

}

if (flag && (num == 0 || (num == 2 && left ==1 && right == 1))) System.out.println("Ordering is possible.");

else System.out.println("The door cannot be opened.");

}

}

 

public static void main(String[] args) {

Main solved = new Main();

solved.run();

}

 

Scanner cin = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));

 

}

 

 

posted on 2013-01-29 11:51  Sure_Yi  阅读(242)  评论(0编辑  收藏  举报

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