一元函数积分学

目录

• 不定积分
  • 原函数与不定积分的概念
    • 原函数的定义
      • 原函数存在定理
    • 不定积分的定义
  • 基本积分表
  • 不定积分的性质
    • 不定积分与微分和导数之间的关系
  • 求不定积分的方法
    • 换元积分法
      • 第一类换元法(凑微分法)
      • 第二类换元法
    • 分部积分法
    • 积分表补充
    • 超越积分(不可积积分)
    • 有理函数的积分
      • 三角有理式积分
      • 含有根式的有理式积分
• 定积分
  • 定积分的定义
    • 定积分可积的充分条件
  • 定积分的性质
    • 积分中值定理
  • 积分上限函数及其导数
  • 微积分基本公式(牛顿-莱布尼茨公式)
  • 定积分的换元积分法和分步积分法
    • 定积分的换元法
    • 定积分的分部法
    • 常用结论
  • 反常积分
    • 无穷区间上的反常积分
    • 无界函数的反常积分
• 定积分的应用

不定积分

原函数与不定积分的概念

原函数的定义

如果在区间 $I$ 上,可导函数 $F(x)$ 的导函数为 $f(x)$ ,即对任一 $x\in I$ 都有

$$F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,$$

那么函数 $F(x)$ 就称为 $f(x)$ (或 $f(x)dx$ )在区间 $I$ 上的一个原函数.

原函数存在定理

如果函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续,那么区间 $I$ 上存在可导函数 $F(x)$ 使对任一 $x\in I$ 都有

$$F'(x)=f(x)$$

即:连续函数一定有原函数.

不定积分的定义

在区间上,函数 $f(x)$ 的带有任意常数项的原函数称为 $f(x)$ (或 $f(x)dx$ )在区间 $I$ 上的不定积分,记作:

$$\int f(x)dx.$$

其中记号 $\int$ 称为积分号, $f(x)$ 称为被积函数, $f(x)dx$ 称为被积表达式, $x$ 称为积分变量.

基本积分表

• $\int k d x=d x+C(k是常数)$
• $\int x^{k} d x=\frac{x^{k+1}}{k+1}+C(k \neq-1)$
• $\int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C(x \neq 0)$
• $\int \sin x d x=-\cos x+C$
• $\int \cos x d x=\sin x+C$
• $\int e^{x} d x=e^{x}+C$
• $\int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\ln a}+C$
• $\int \frac{1}{1+x^{2}} d x=\arctan x+C或\int \frac{1}{1+x^{2}} d x=-\operatorname{arccot} x+C$
• $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x=\arcsin x+C 或 \int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x=-\arccos x+C$
• $\int \sec ^{2} x d x=\int \frac{1}{\cos ^{2} x} d x=\tan x+C$
• $\int \csc ^{2} x d x=\int \frac{1}{\sin ^{2}} d x=-\cot x+C$
• $\int \sec x \tan x d x=\sec x+C$
• $\int \csc x \cot x d x=-\csc x+C$

不定积分的性质

设函数 $f(x)$ 及 $g(x)$ 的原函数存在,则

$$\int[f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx,\\ \int kf(x)dx=k\int f(x)dx(k为非零常数)$$

不定积分与微分和导数之间的关系

• $(\int f(x)dx)'=f(x)$
• $d \int f(x)dx=f(x)dx$
• $\int f'(x)dx=f(x)+C$
• $\int df(x)=f(x)+C$

求不定积分的方法

换元积分法

第一类换元法(凑微分法)

设 $f(u)$ 具有原函数, $u=\varphi(x)$ 可导,则有换元公式

$$\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)dx=[\int f(u)du]_{u=\varphi(x)}$$

第二类换元法

设 $x=\psi(t)$ 是单调的可导函数,并且 $\psi'(t)\neq0$ .又设 $f[\psi(t)]\psi'(t)$ 具有原函数,则有换元公式.

$$\int f(x)dx=[\int f[\psi(t)]\psi'(t)dt]_{t=\psi^{-1}(x)}$$

分部积分法

设函数 $u=u(x)$ 及 $v=v(x)$ 具有连续导数,则有:

$$\int uv'dx=uv-\int u'vdx$$

可以简化为

$$\int udv=uv-\int vdu$$

积分表补充

通过上面两种求不定积分的方法,我们可以扩展积分表添加一些常用的积分:

• $\int \tan xdx=-\ln| \cos x | + C,$
• $\int \cot xdx=\ln| \sin x | + C,$
• $\int \sec xdx=\ln|\sec x+\tan x|+C,$
• $\int \csc xdx=\ln|\csc x-\cot x|+C,$
• $\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arcsin \frac{x}{a}+C,$
• $\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C,$
• $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C,$
• $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C,$
• $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C.$

超越积分(不可积积分)

上述积分方法所求积分都有一个特点,即:所求不定积分都是初等函数.
实际上,我们只能求出原函数可以表示成初等函数的函数的不定积分,如果一个函数的原函数不可以用初等函数表示,那么我们称其的不定积分为超越积分,即不可积积分,常见的超越积分有:

• $\int e^{a x^{2}} d x(a \neq 0)$
• $\int \frac{\sin x}{x} d x$
• $\int \frac{\cos x}{x} d x$
• $\int \sin \left(x^{2}\right) d x$
• $\cos \left(x^{2}\right) d x$
• $\int \frac{x^{n}}{\ln x} d x(n \neq 1)$
• $\int \frac{\ln x}{x+a} d x(a \neq 0)$
• $\int(\sin x)^{z} d x \quad(z$ 不是整数)
• $\int d x / \sqrt{x^{4}+a}(a \neq 0)$
• $\int \sqrt{1+k(\sin x)^{2}} d x(k \neq 0, k \neq-1)$
• $\int d x / \sqrt{1+k(\sin x)^{2}}(k \neq 0, k \neq-1)$

附阅:几个常见的超越积分(不可积积分)

有理函数的积分

有理函数的积分必定可以被求出

两个多项式的商 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ 称为有理函数,又称有理分式.我们总假定分子多项式 $P(x)$ 与分母多项式 $Q(x)$ 之间没有公因式.当分子多项式 $P(x)$ 的次数小于分母多项式 $Q(x)$ 的次数时,称这有理函数为真分式,否则称为假分式.
利用多项式的除法,总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和的形式.
对于真分式 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ ,如果分母可分解为两个多项式的乘积

$$Q(x)=Q_1(x)Q_2(x),$$

且 $Q_1(x)$ 与 $Q_2(x)$ 没有公因式,那么它可以拆分成两个真分式之和

$$\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}+\frac{P_2(x)}{Q_2(x)},$$

如果 $Q_1(x)$ 或 $Q_2(x)$ 还能再分解成两个没有公因式的多项式的乘积,那么就可再拆分成更简单的部分分式.最后,有力函数的分解式中只出现多项式,$\frac{P_1(x)}{(x-1)^k}$,$\frac{P_2(x)}{(x^2+px+q)^l}$ 等三类函数(这里 $p^2-4q<0$,$P_1(x)$ 为小于 $k$ 次的多项式,$P_2(x)$ 为小于 $2l$ 次的多项式 ).多项式的积分容易求得,后两类真分式的积分可以使用换元积分法和分部积分法求出.

附阅:有理函数不定积分计算法则——留数定理法

三角有理式积分

三角有理式是指三角函数通过有理运算得到的函数
三角有理式的积分也可以被求出

根据三角函数公式可以知道,$\sin x$ 与 $\cos x$ 都可以通过万能公式用 $\tan \frac{x}{2}$ 表示,在此基础上使用第二类换元积分法可以求出三角有理式的积分.
当然,一般的三角有理式也可以通过三角变形,换元或者分部的方法直接求出.

含有根式的有理式积分

如果一个函数是通过 $x$ 与 $\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$ 进行有理运算后得到的函数,处理这类函数我们可以将根式换元,消去根式,从而求出结果.

定积分

定积分的定义

设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界,在 $[a,b]$ 中任意插入若干个分点

$$a=x_0<x_1<x_2<...<x_{n-1}<x_n=b,$$

把区间 $[a,b]$ 分成 $n$ 个小区间

$$[x_0,x_1],[x_1,x_2],...,[x_{n-1},x_n],$$

各个小区间的长度依次为

$$\Delta x_1=x_1-x_0,\Delta x_2=x_2-x_1,...,\Delta x_n=x_n-x_{n-1}.$$

在每个小区间 $[x_{i-1},x+i]$ 上任取一点 $\xi_i(x_{i-1}\leq \xi_i\leq x_i)$,作函数值 $f(\xi_i)$ 与小区间长度 $\Delta x_i$ 的乘积 $f(\xi_i)\Delta x_i(i=1,2,...,n)$,并作出和

$$S=\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i.$$

记 $\lambda=\max\{\Delta x_1,\Delta x_2,...,\Delta x_n\}$ ,如果当 $\lambda\to 0$ 时,这和的极限总存在,且与闭区间 $[a,b]$ 的分法和取法无关,那么称这个极限 $I$ 为函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的定积分(简称积分),记作 $\int_{a}^{b}f(x)dx$,即

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=I=\lim\limits_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i,$$

其中 $f(x)$ 叫做被积函数,$f(x)dx$ 被叫做被积表达式, $x$ 叫做积分变量, $a$ 叫做积分下限,$b$ 叫做积分上限, $[a,b]$ 叫做积分区间.

• 函数的定积分是一个常数
• 函数的定积分只与函数的对应规则和积分的上下限有关,与自变量的符号无关.

为了计算和应用的方便起见,对定积分作以下两点补充规定:

1. 当 $b=a$ 时, $\int_{a}^{b}f(x)dx=0$;
2. 当 $a>b$ 时, $\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx$
   由上式可知,交换定积分的上下限时,定积分的绝对值不变而符号相反.

定积分可积的充分条件

• 定理一: 设 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续,则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积.
• 定理二: 设 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有界,且只有有限个间断点,则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积.
• 补充: 设 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上只有有限个第一类间断点,则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积.

定积分的性质

• 性质一: 设 $\alpha$ 与 $\beta$ 均为常数,则

$$\int_{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha\int_{a}^{b}f(x)dx+\beta\int_{a}^{b}g(x)dx.$$

该性质对于任意有限个函数的线性组合也是成立的.

• 性质二:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$$

• 性质三: 如果在区间 $[a,b]$ 上 $f(x)≡1$ ,那么

$$\int_{a}^{b}1dx=\int_{a}^{b}dx=b-a$$

• 性质四: 如果在区间 $[a,b]$ 上 $f(x)\geq 0$ ,那么

$$\int_{a}^{b}f(x)dx\geq0(a<b)$$

• 性质四的推论一: 如果在区间 $[a,b]$ 上 $f(x)\leq g(x)$ ,那么
  $$\int_{a}^{b}f(x)dx\leq\int_{a}^{b}g(x)dx(a<b).$$

• 性质四的推论二: 设 $M$ 及 $m$ 分别是函数 $f(x)$在区间 $[a,b]$上的最大值及最小值,则
  $$m(b-a)\leq\int_{a}^{b}f(x)dx\leq M(b-a)(其中a<b)$$

积分中值定理

如果函数 $f(x)$ 在积分区间 $[a,b]$ 上连续,那么在 $[a,b]$ 上至少存在一个点 $\xi$ ,使下式成立:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\xi)(b-a)(其中a\leq\xi\leq b).$$

这个公式叫做积分中值公式.
其中:

$$f(\xi)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx$$

称为函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的平均值.

积分上限函数及其导数

如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续,那么积分上限的函数:

$$\varPhi(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$$

在 $[a,b]$ 上可导,并且它的导数

$$\varPhi'(x)=\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)(其中a \leq x \leq b).$$

即: $\varPhi(x)$ 是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的一个原函数.

微积分基本公式(牛顿-莱布尼茨公式)

如果函数 $F(x)$ 是连续函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的一个原函数,那么

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

牛顿-莱布尼茨公式是微积分中最重要的公式,他沟通了积分学和微分学

$$\underbrace{\underbrace{\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)}_{积分中值定理}=\underbrace{F'(\xi)(b-a)=F(b)-F(a)}_{微分中值定理}}_{牛顿-莱布尼茨公式}$$

定积分的换元积分法和分步积分法

定积分的换元法

假设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续,函数 $x=\varphi(t)$ 满足条件:

1. $\varphi(\alpha)=a,\varphi(\beta)=b$;
2. $\varphi(t)$ 在 $[\alpha,\beta]$ (或 $[\beta,\alpha]$ )上具有连续导数,且其值域 $R_{\varphi}=[a,b]$ ,则有:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt$$

再次说明:定积分的结果是一个值,与自变量的符号没有任何关系,所以这里并不需要将 $t$ 换回 $x$ ,直接求出对 $t$ 的定积分即可.

定积分的分部法

假设函数 $u(x)$ 与 $v(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上具有连续导数,根据不定积分的分部积分法有:

$$\int_a^buv'dx=[uv]_a^b-\int_a^bvu'dx,$$

或

$$\int_a^budv=[uv]_a^b-\int_a^bvdu$$

常用结论

• 若 $f(x)$ 在 $[-a,a]$ 上连续,有:

$$\int_{-a}^af(x)dx=\int_0^a[f(-x)+f(x)]dx$$

如果 $f(x)$ 是偶函数,则

$$\int_{-a}^af(x)dx=2\int_0^af(x)dx$$

如果 $f(x)$ 是奇函数,则

$$\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$$

• 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续,则

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\cos x)dx\\ \int_0^{\pi}xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin x)dx$$

• 设 $f(x)$ 是连续的周期函数,周期为 $T$ ,则

$$\int_a^{a+T}f(x)dx=\int_0^Tf(x)dx\\ \int_a^{a+nT}f(x)dx=n\int_0^Tf(x)dx(n\in \N).$$

• 华里士公式(点火公式)

$$\begin{aligned} I_{n} &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x\\ &=\begin{cases} \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot \cdots \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}, n \text { 为正偶数 } \\ \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot \cdots \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3}, n \text { 为大于 } 1 \text { 的正奇数. } \end{cases} \end{aligned}$$

或者可以写为:

$$I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}$$

反常积分

无穷区间上的反常积分

• 设 $f(x)$ 为 $[a,+\infty)$ 上的连续函数,如果极限 $\lim\limits_{t\to+\infty}\int_a^tf(x)dx$ 存在,则称此极限为函数 $f(x)$ 在无穷区间 $[a,+\infty)$ 上的反常积分,记作 $\int_a^{+\infty}f(x)dx$ ,即:

$$\int_a^{+\infty}f(x)dx=\lim\limits_{t\to+\infty}\int_a^tf(x)dx.$$

这时也称反常积分 $\int_a^{+\infty}f(x)dx$ 收敛,如果上述极限不存在,则称反常积分 $\int_a^{+\infty}f(x)dx$ 发散.

• 设 $f(x)$ 为 $(-\infty,b]$ 上的连续函数,则可类似的定义函数 $f(x)$ 在无穷区间 $(-\infty,b]$ 上的反常积分

$$\int_{-\infty}^bf(x)dx=\lim\limits_{t\to-\infty}\int_t^bf(x)dx.$$

• 设 $f(x)$ 为 $(-\infty,+\infty)$ 上的连续函数,如果反常积分

$$\int_{-\infty}^0f(x)dx及\int_0^{+\infty}f(x)dx$$

都收敛,则称反常积分 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$ 收敛,且

$$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^0f(x)dx+\int_0^{+\infty}f(x)dx.$$

如果 $\int_{-\infty}^0f(x)dx及\int_0^{+\infty}f(x)dx$ 至少有一个发散,则称 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$ 发散.

常用结论:

$$\int_{a}^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx\begin{cases} p>1 ,&\text{收敛 }\\ p\leq 1, &\text{发散 } \end{cases},(a>0)$$

无界函数的反常积分

如果函数 $f(x)$ 在点 $a$ 的任一邻域内都无界,那么点 $a$ 称为函数 $f(x)$ 的瑕点(也称为无界点).无界函数的反常积分也称为瑕积分.

• 设函数 $f(x)$ 在 $(a,b]$ 上连续,点 $a$ 为函数 $f(x)$ 的瑕点.如果极限

$$\lim\limits_{t\to a^+}\int_t^bf(x)dx$$

存在,则称此极限为函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的反常积分,记作 $\int_a^bf(x)dx$ ,即

$$\int_a^bf(x)dx=\lim\limits_{t\to a^+}\int_t^bf(x)dx$$

这时也称反常积分 $\int_a^bf(x)dx$ 收敛.如果上述极限不存在,则称反常积分 $\int_a^bf(x)dx$ 发散.

• 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b)$ 上连续,点 $b$ 为函数 $f(x)$ 的瑕点.则可类似的定义函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的反常积分

$$\int_a^bf(x)dx=\lim\limits_{t\to b^-}\int_a^tf(x)dx$$

• 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上除点 $c(a<c<b)$ 外连续,点 $c$ 为函数 $f(x)$ 的瑕点.如果反常积分

$$\int_a^cf(x)dx及\int_c^bf(x)dx$$

都收敛,则称反常积分 $\int_a^bf(x)dx$ 收敛,且

$$\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx$$

如果 $\int_a^cf(x)dx$ 与 $\int_c^bf(x)dx$ 至少有一个发散,则称 $\int_a^bf(x)dx$ 发散.

常用结论:

$$\int_a^b\frac{1}{(x-a)^p}dx\begin{cases} p<1 ,&\text{收敛 }\\ p\geq 1, &\text{发散 } \end{cases}\\ \int_a^b\frac{1}{(b-x)^p}dx\begin{cases} p<1 ,&\text{收敛 }\\ p\geq 1, &\text{发散 } \end{cases}$$

定积分的应用