一元函数微分学

目录

• 导数
  • 定义
    • 左导数及右导数(单侧导数)
    • 区间上可导及导函数
    • 函数可导性与连续性的关系
    • 导数的几何意义
  • 函数的求导法则
    • 常数和基本初等函数的导数公式
    • 和,差,积,商的求导法则
    • 反函数的求导法则
    • 复合函数的求导法则
    • 高阶导数
      • 常用公式
    • 隐函数求导
    • 参数方程求导
• 微分
  • 定义
    • 与导数的关系
  • 几何意义
  • 微分的运算法则
    • 微分形式不变性
• 微分中值定理
  • 费马引理
  • 罗尔中值定理
    • 几何意义
  • 拉格朗日中值定理
    • 几何意义
    • 有限增量公式
  • 柯西中值定理
  • 洛必达法则
  • 泰勒中值定理
    • 常用麦克劳林公式
• 一元函数微分学的应用
  • 确定函数图像
    • 函数的单调性的判定
    • 函数的极值
      • 函数极值的存在条件
      • 求函数极值的一般方法
    • 函数的最大值最小值
    • 曲线的凹凸性与拐点
      • 凹凸性的定义
      • 凹凸性的判定
      • 拐点
    • 函数的渐近线
      • 水平渐近线
      • 垂直渐近线
      • 斜渐近线
  • 曲率
    • 弧微分
    • 曲率计算公式
    • 曲率圆以及曲率半径

导数

定义

设函数 \(y=f(x)\) 在 \(x_0\) 的邻域上有定义,当自变量 \(x\) 在 \(x_0\) 处取得增量 \(\Delta x\) (点 \(x_0+\Delta x\) 仍在该邻域内)时,相应地,因变量取得增量 \(\Delta y=f(x_0+\Delta x)- f(x_0)\);如果 \(\Delta y\) 与 \(\Delta x\) 之比当 \(\Delta x \to 0\) 时的极限存在,那么称函数 \(y=f(x)\) 在 \(x_0\) 处可到,并称这个极限为函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_0\) 处的导数,记为 \(f'(x_0)\),即:

\[f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}, \]

也可记作 \(y'\mid_{x=x_0},\frac{dy}{dx}\mid_{x=x_0}\)或 \(\frac{df(x)}{dx}\mid_{x=x_0}\).
通常,导数的定义式也可以写成下面的等价形式:

\[f'(x_0)=\lim\limits_{ x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}. \]

左导数及右导数(单侧导数)

上面的定义我们可以看出,导数的本质实际上是一个极限,而极限存在的充要条件就是左极限和右极限都存在且相等,我们把函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的导数定义式的左极限称为左导数,记作 \(f'_-(x_0)\) ,右极限称为右导数,记作 \(f'_+(x_0)\) ,可以推出:
若函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的导数存在,则有:

\[\lim\limits_{\Delta x \to 0^-}\frac{\Delta y}{\Delta x}(左导数)=\lim\limits_{\Delta x \to 0^+}\frac{\Delta y}{\Delta x}(右导数)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} \]

注意:

• 左导数与右导数也可以写成导数定义式的其他等价形式
• 区分 \(f'_-(x_0)\) 与 \(f'(x_0^-)\) 前者是函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的左导数,后者是函数 \(f(x)\) 的导函数 \(f'(x)\) 在 \(x_0\) 处的右极限,二者没有直接关系.

区间上可导及导函数

如果 \(y=f(x)\) 在开区间 \((a,b)\) 内每一个点都可导,则称 \(f(x)\) 在区间 \((a,b)\) 内可导,此时对于 \((a,b)\) 内的每一点 \(x\) ,都对应一个导数值 \(f'(x)\) ,常称 \(f'(x)\) 为 \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 内的导函数,简称为导数,记作 \(y'\),\(f'(x)\),\(\frac{dy}{dx}\) 或 \(\frac{df(x)}{dx}\).
将导数定义式中的 \(x_0\) 改成 \(x\) ,即可获得导函数的定义式:

\[f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]

注意:在此极限过程中,应该把 \(x\) 看作一个常量,而 \(h\) 才是极限过程中的变量!

• 开区间可导
  如果函数 \(f(x)\) 在开区间 \((a,b)\) 内可导,且 \(f'_+(a)\) 和 \(f'_-(b)\) 都存在,那么就说 \(f(x)\) 在闭区间上可导.

函数可导性与连续性的关系

• 如果函数 \(f(x)\) 在点 \(x\) 处可导,那么该函数在该点必连续,反之不成立.
• 如果函数 \(f(x)\) 的导函数 \(f'(x)\) 连续,那么 \(f(x)\) 必定可导,反之不成立(即函数 \(f(x)\) 可导无法说明其导函数 \(f'(x)\) 连续)

导数的几何意义

函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处的导数 \(f'(x_0)\) 在几何上表示曲线 \(y=f(x)\) 在点 \(M(x_0,f(x_0))\) 处的切线的斜率,根据直线的点斜式方程,可知曲线 \(y=f(x)\) 在点 \(M(x_0,y_0)\) 处的切线方程为:

\[y-y_0=f'(x_0)(x-x_0) \]

过切点 \(M(x_0,y_0)\) 且与切线垂直的直线叫做曲线 \(y=f(x)\) 在点 \(M\) 处的法线.如果 \(f'(x_0)\neq0\) ,法线的斜率为 \(-\frac{1}{f'(x_0)}\) ,从而法线方程为:

\[y-y_0=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0) \]

如果 \(f'(x_0)\) 为 \(\infty\) ,切线与 \(x\) 轴垂直.同理,如果 \(f'(x_0)=0\) ,法线与 \(x\) 轴垂直.

函数的求导法则

常数和基本初等函数的导数公式

• \((C)^{\prime}=0\),
• \(\left(x^{\mu}\right)^{\prime}=\mu x^{\mu-1}\),
• \((\sin x)^{\prime}=\cos x\),
• \((\cos x)^{\prime}=-\sin x\),
• \((\tan x)^{\prime}=\sec ^{2} x\),
• \((\cot x)^{\prime}=-\csc ^{2} x\),
• \((\sec x)^{\prime}=\sec x \tan x\),
• \((\csc x)^{\prime}=-\csc x \cot x\),
• \(\left(a^{x}\right)^{\prime}=a^{x} \ln a \quad(a>0, a \neq 1)\)
• \(\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{\prime}=\mathrm{e}^{x}\),
• \(\left(\log _{a} x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \ln a}(a>0, a \neq 1)\),
• \((\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}\),
• \((\arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\),
• \((\arccos x)^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\),
• \((\arctan x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}}\),
• \((\operatorname{arccot} x)^{\prime}=-\frac{1}{1+x^{2}}\).

和,差,积,商的求导法则

设 \(u=u(x)\) , \(v=v(x)\)都可导,则

• \((u±v)'=u'±v'\),
• \((Cu)'=Cu'(C是常数)\),
• \((uv)'=u'v+uv'\),
• \((\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}(v\neq0)\).

反函数的求导法则

设 \(x=f(y)\) 在区间 \(I_y\) 内单调,可导且 \(f'(y)\neq 0\),则它的反函数 \(y=f^{-1}(x)\) 在 \(I_x=\{x\mid x=f(y),y\in I_y\}\) 内也可导,且:

\[[f^{-1}(x)]'=\frac{1}{f'(y)}或\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}. \]

复合函数的求导法则

如果 \(u=g(x)\) 在点 \(x\) 可导,而 \(y=f(u)\) 在点 \(u=g(x)\) 可导,那么复合函数 \(y=f[g(x)]\) 在点 \(x\) 可导,其导函数为:

\[\frac{dy}{dx}=f'(u)\cdot g'(x) 或 \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}. \]

高阶导数

如果 \(y'=f'(x)\) 作为 \(x\) 的函数在点 \(x\) 可导,则称 \(y'\) 的导数为 \(y=f(x)\) 的二阶导数,记为 \(y''\) , \(f''(x)\) 或 \(\frac{d^2y}{dx^2}\) .
一般地,函数 \(y=f(x)\) 的 \(n\) 阶导数为 \(y^{(n)}=[f^{(n-1)}(x)]'\),也可记为 \(f^{(n)}\) 或 \(\frac{d^ny}{dx^n}\).

• 如果函数 \(f(x)\) 在点 \(x\) 处 \(n\) 阶可导,则在点 \(x\) 的某邻域内 \(f(x)\) 必定具有一切低于 \(n\) 阶的导数.
• 关于 \(\frac{dy}{dx}\) 的理解:老师说链式法则里某个 dy/dx 不能理解为 dy 除以 dx，为什么？

常用公式

• \((u±v)^{(n)}=u^{(n)}±v^{(n)}\) .
• \((uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C_n^ku^{(n-k)}v^{(k)}\) (莱布尼茨(\(Leibniz\))公式,与二项式定理形式类似).
• \((\sin x)^{(n)}=\sin(x+n\cdot\frac{\pi}{2})\)
• \((\cos x)^{(n)}=\cos(x+n\cdot\frac{\pi}{2})\)

隐函数求导

设 \(y=f(x)\) 是由方程 \(F(x,y)=0\) 所确定的可导函数,为求得 \(y'\) 可在方程 \(F(x,y)=0\) 两边对 \(x\) 求导,可得到一个含有 \(y'\) 的方程,从中解出 \(y'\) 即可.

参数方程求导

若参数方程

\[\begin{cases} x=\varphi(t), \\ y=\psi(t) \end{cases} \]

确定 \(y\) 与 \(x\) 间的函数关系,则称此函数关系所表达的函数为由该参数方程所确定的函数.
要计算该参数方程所确定的函数对 \(x\) 的导数,我们有:

\[\frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)} \]

微分

定义

设函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某一邻域内有定义,如果函数的增量 \(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\) 可以表示为:

\[\Delta y= A\Delta x+\omicron(\Delta x),(\Delta x \to 0) \]

其中 \(A\) 为不依赖与 \(\Delta x\) 的常数,则称函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处可微,称 \(A\Delta x\) 为函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处相应于自变量增量 \(\Delta x\) 的微分,记为 \(dy=A\Delta x\).

与导数的关系

函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_0\) 处可微的充分必要条件是 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处可到,且有

\[dy=f'(x_0)\Delta x=f'(x_0)dx. \]

在点 \(x\) 处,常记为 \(dy=f'(x)dx\).

附阅:微分和导数的关系是什么？两者的几何意义有什么不同？为什么要定义微分 ?

几何意义

微分 \(dy=f'(x_0)dx\) 在集合上表示曲线 \(y=f(x)\) 的切线上的增量.
\(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\) 在几何上表示曲线 \(y=f(x)\) 上的增量.
\(dy \approx \Delta y\).

微分的运算法则

根据微分与导数的关系,微分的运算法则和函数的求导法则基本一致,故微分的运算法则可以参考--- 函数的求导法则.
另外,微分在形式上有一个重要的性质,如下:

微分形式不变性

设 \(y=f(u)\) 及 \(u=g(x)\) 都可导,则复合函数 \(y=f[g(x)]\) 的微分为:

\[dy=y'_xdx=f'(u)g'(x)dx. \]

由于 \(g'(x)dx=du\) ,所以,复合函数 \(y=f[g(x)]\) 的微分公式也可以写成:

\[dy=f'(u)du 或dy=y'_udu. \]

由此可见,无论 \(u\) 是自变量还是中间变量,微分形式 \(dy=f'(u)du\) 保持不变.这一性质称为微分形式不变性.

微分中值定理

费马引理

设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某领域 \(U(x_0)\) 内有定义,并且在 \(x_0\) 处可导,如果对任意的 \(x\in U(x_0)\) ,有:

\[f(x)\leq f(x_0)或者f(x) \geq f(x_0) \]

那么 \(f'(x_0)=0\).

这里的条件为: \(f(x)\leq f(x_0)\)或者\(f(x) \geq f(x_0)\),而非 \(f(x)< f(x_0)\)或者\(f(x) > f(x_0)\) ,区别与极值点的定义,部分考研辅导书将费马引理写为:如果在该点取得极值点,则 \(f'(x_0)=0\) ,虽然也正确但感觉并不严谨.

罗尔中值定理

如果函数 \(f(x)\) 满足:

1. 在闭区间 \([a,b]\) 上连续;
2. 在开区间 \((a,b)\) 内可导;
3. 在区间端点处的函数值相等,即 \(f(a)=f(b)\),

那么,在 \((a,b)\) 内至少存在一点 \(\xi(a<\xi<b)\) ,使得 \(f'(\xi)=0\).

几何意义

拉格朗日中值定理

如果函数\(f(x)\) 满足:

1. 在闭区间 \([a,b]\) 上连续;
2. 在开区间 \((a,b)\) 内可导,

那么在 \((a,b)\) 内至少有一点 \(\xi(a<\xi<b)\),使等式

\[f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a) \]

成立,我们称该等式为拉格朗日中值公式,该公式还拥有等价形式:

\[f(b)-f(a)=f'[a+\theta(b-a)] (b-a). \]

拉格朗日中值定理在微分学中有重要地位,有时我们直接称拉格朗日中值定理为微分中值定理.

几何意义

有限增量公式

设有函数\(f(x)\),增量\(\Delta x\),且函数在区间 \([x,x+\Delta x]\) 内连续, \((x,x+\Delta x)\) 内可导,根据拉格朗日中值定理有:

\[\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=f'(x+\theta \Delta x)\Delta x(0<\theta<1). \]

此公式可以与函数的微分公式做对比:

\[\Delta y\approx dy=f'(x)dx=f'(x)\Delta x. \]

我们可以发现,微分公式描述的是函数的增量 \(\Delta y\) 的近似表达式,只有当 \(\Delta x \to 0\) 时, \(dy\) 与 \(\Delta y\) 的误差才趋于零, 而上面使用拉格朗日中值定理的公式却给出了自变量取得有限增量 \(\Delta x\)时,函数增量 \(\Delta y\) 的准确表达式.因此,拉格朗日中值定理也被叫做有限增量定理,上面的公式称为有限增量公式.

柯西中值定理

如果函数 \(f(x)\) 及 \(F(x)\) 满足:

1. 在闭区间 \([a,b]\) 上连续;
2. 在开区间 \((a,b)\) 内可导;
3. 对任一 \(x\in (a,b)\) ,\(F'(x)\neq0\),

那么在 \((a,b)\) 内至少有一点 \(\xi\) ,使等式:

\[\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}. \]

成立.

拉格朗日定理可以看作柯西中值定理的特殊情况,罗尔定理可以看作拉格朗日中值定理的特殊情况.

洛必达法则

如果函数 \(f(x)\) 和 \(F(x)\) 满足:

1. 当 \(x \to a\) 时,函数 \(f(x)\) 及 \(F(x)\) 都趋于零;
2. 在点 \(a\) 的某去心邻域内,\(f'(x)\) 及 \(F'(x)\) 都存在且 \(F'(x)\neq 0\) ;
3. \(\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{F'(x)}\) 存在(或为无穷大),

则:

\[\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{F(x)}=\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{F'(x)}. \]

这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.
对于 \(x\to \infty\) 时的未定式 \(\frac{0}{0}\) 以及对于 \(x\to a\) 或 \(x\to \infty\) 时的未定式 \(\frac{\infty}{\infty}\) 也有相应的洛必达法则.

未定式
当 \(x\to a\) 时,两个函数 \(f(x)\) 与 \(F(x)\) 都趋于零或都趋于无穷大,那么极限 \(\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{F(x)}\) 可能存在也可能不存在,我们把这类无法直接通过极限运算法则得出极限值的极限称为未定式.
除了上面说的 \(\frac{0}{0}\) 和 \(\frac{\infty}{\infty}\) 外,常见的未定式还有 \(\infty-\infty,0 \cdot\infty,1^\infty,\infty^0,0^0\) ,这五种未定式均可通过一些方法(取对数,通分,等价无穷小替换等方法)转换为 \(\frac{0}{0}\) 和 \(\frac{\infty}{\infty}\) 后直接使用洛必达法则来求极限(前提是极限存在)

另外,洛必达法则只是求解未定式极限的一种方法,当洛必达法则可以求出极限时,所求极限一定等于该值.如果无法通过洛必达法则求出未定式的极限,并不能说明该未定式的极限不存在.

泰勒中值定理

如果函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处具有 \(n\) 阶导数,那么存在 \(x_0\) 的一个邻域,对于该邻域内的任一 \(x\) ,有:

\[f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x), \]

其中,若:

\[R_n(x)=\omicron((x-x_0)^n). \]

称该公式为函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的带有佩亚诺余项的 \(n\) 阶泰勒公式,而 \(R_n(x)\) 称为佩亚诺余项.
若:

\[R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}(\xi 是x_0与x之间的某个值), \]

称该公式为函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的带有拉格朗日余项的 \(n\) 阶泰勒公式,而 \(R_n(x)\) 称为拉格朗日余项.
如果上面的公式中 \(x_0=0\) 则称为麦克劳林公式.

所谓的余项就是原函数与多项式的误差.

常用麦克劳林公式

\[\begin{aligned} &(1).e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{x^{n}}{n !}+o\left(x^{n}\right) \\ &(2).\sin x=x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}-\frac{x^{7}}{7 !}+\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}+o\left(x^{2 n+2}\right) \\ &(3).\cos x=1-\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}-\frac{x^{6}}{6 !}+\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n) !}+o\left(x^{2 n+1}\right) \\ &(4).\ln (1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n}+o\left(x^{n}\right) \\ &(5).(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2 !} x^{2}+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n !}+x^{n}+\omicron\left(x^{n}\right) \end{aligned} \]

附阅:如何巧记麦克劳林级数？

一元函数微分学的应用

确定函数图像

利用函数的单调性,极值,曲线的凹凸性,拐点及渐近线可以做出函数图像.

函数的单调性的判定

设函数 \(y=f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续,在 \((a,b)\) 内可导.

1. 如果在 \((a,b)\) 内 \(f'(x)\geq 0\) ,且等号仅在有限多个点处成立,那么函数 \(y=f(x)\) 在 \([a,b]\) 上单调增加;
2. 如果在 \((a,b)\) 内 \(f'(x)\leq 0\) ,且等号仅在有限多个点处成立,那么函数 \(y=f(x)\) 在 \([a,b]\) 上单调减少.

函数的极值

设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 附近某邻域 \(U(x_0)\) 内有定义,如果对于去心邻域 \(\mathring{U}(x_0)\) 内的任一 \(x\) ,有

\[f(x)<f(x_0)(或f(x)>f(x_0)) \]

那么就称 \(f(x_0)\) 是函数 \(f(x)\) 的一个极大值(或极小值).
函数的极大值与极小值统称为函数的极值,是函数取得极值的点称为极值点.

函数极值的存在条件

• 必要条件:
  设函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处可导,且在 \(x_0\) 处取得极值,则 \(f'(x_0)=0\) .
• 第一充分条件:
  设函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处连续,且在 \(x_0\) 的某去心邻域 \(\mathring{U}(x_0,\delta)\) 内可导.
  (1). 若 \(x\in(x_0-\delta,x_0)\) 时, \(f'(x)>0\) ,而 \(x\in (x_0,x_0+\delta)\) ,\(f'(x)<0\) ,则 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处取得极大值;
  (2). 若 \(x\in(x_0-\delta,x_0)\) 时, \(f'(x)<0\) ,而 \(x\in (x_0,x_0+\delta)\) ,\(f'(x)>0\) ,则 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处取得极小值;
  (3). 若 \(x\in \mathring{U}(x_0,\delta)\) 时,$ f'(x)$ 的符号保持不变,则 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处没有极值.
• 第二充分条件:
  设函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处具有二阶导数且 \(f'(x_0)=0\) ,\(f''(x_0)\neq 0\) ,则:
  (1). 当 \(f''(x_0)<0\) 时,函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处取得极大值.
  (2). 当 \(f''(x_0)>0\) 时,函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处取得极小值.

求函数极值的一般方法

1. 求出导数 \(f'(x)\) ;
2. 求出 \(f(x)\) 的全部驻点与不可导点;
3. 考察 \(f'(x)\) 的符号在每个驻点或不可导点的左,右邻近情形,以确定该点是否为极值点;如果是极值点,进一步确定是极大值还是极小值点.(如果函数在驻点二阶可导,且二阶导不为 \(0\) ,那么我们可以通过二阶导的正负来确定其是极大值还是极小值点.)
4. 求出极值点的函数值,就得到了函数 \(f(x)\) 的全部极值.

驻点:一阶导数值为 \(0\) 的点.

函数的最大值最小值

可用如下方法求出 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上的最大值和最小值.

1. 求出 \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 内的驻点及不可导点;
2. 计算 \(f(x)\) 在上述驻点,不可导点处的函数值及 \(f(a)\) ,\(f(b)\) ;
3. 比较 2 中诸值的大小,其中最大的便是 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上的最大值,最小值的便是 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上的最小值.

注意:该方法求得是闭区间函数的最大值最小值,至于开区间,我们无法确定其最大值和最小值是否存在.

曲线的凹凸性与拐点

凹凸性的定义

设 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上连续,如果对 \(I\) 上任意两点 \(x_1\) ,\(x_2\) 恒有

\[f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1+x_2)}{2}, \]

那么称 \(f(x)\) 在 \(I\) 上的图形是(向上)凹的(或凹弧)(如下图第一个图像);如果恒有

\[f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1+x_2)}{2}, \]

那么称 \(f(x)\) 在 \(I\) 上的图形是(向上)凸的(或凸弧)(如下图第二个图像).

凹凸性的判定

设 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续,在 \((a,b)\) 内具有一阶和二阶导数,那么

1. 若在 \((a,b)\) 内 \(f''(x)>0\) ,则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上的图形是凹的;
2. 若在 \((a,b)\) 内 \(f''(x)<0\) ,则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上的图形是凸的;

拐点

一般地,设 \(y=f(x)\) 在区间 \(I\) 上连续, \(x_0\) 是 \(I\) 内的点.如果曲线 \(y=f(x)\) 在经过点 \((x_0,f(x_0))\) 时,曲线的凹凸性改变了,那么就称点 \((x_0,f(x_0))\) 为曲线的拐点.
下面介绍在区间 \(I\) 上寻找连续函数 \(f(x)\) 的拐点的步骤:

1. 求 \(f''(x)\)
2. 令 \(f''(x)=0\) ,解出这方程在区间 \(I\) 内的实根,并求出在区间 \(I\) 内 \(f''(x)\) 不存在的点.
3. 对于 2 中求出的每一个实根或二阶导不存在的点 \(x_0\) ,检查 \(f''(x)\) 在 \(x_0\) 左,右两侧临近的符号,那么当两侧的符号相反时,点 \((x_0,f(x_0))\) 是拐点,否则不是拐点.

函数的渐近线

若点 \(M\) 沿曲线 \(y=f(x)\) 无限远离原点时,它与某条定直线 \(L\) 之间的距离将趋近于零,则称直线 \(L\) 为曲线 \(y=f(x)\) 的一条渐进线.若直线 \(L\) 与 \(x\) 轴平行,则称 \(L\) 为曲线 \(y=f(x)\) 的水平渐近线;若直线 \(L\) 与 \(x\) 轴垂直,则称 \(L\) 为曲线 \(y=f(x)\) 的垂直渐近线;若直线 \(L\) 既不平行与 \(x\) 轴,也不垂直与 \(x\) 轴,则称直线 \(L\) 为曲线 \(y=f(x)\) 的斜渐近线.

水平渐近线

若 \(\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=A\)(或\(\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=A\),或\(\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=A\)) ,那么 \(y=A\) 是曲线 \(y=f(x)\) 水平渐近线.

垂直渐近线

若 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty\)(或\(\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\infty\),或\(\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=\infty\)) ,那么 \(x=x_0\) 是曲线 \(y=f(x)\) 垂直渐近线.

斜渐近线

若 \(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=a\),且 \(\lim\limits_{x\to \infty}(f(x)-ax)=b\)(或 \(x\to -\infty\) ,或 \(x\to +\infty\) ),那么 \(y=ax+b\) 是曲线 \(y=f(x)\) 的渐近线.

曲率

弧微分

设函数 \(f(x)\) 在区间 \((a, b)\) 内具有连续导数. 在曲线 \(y=f(x)\) 上取固定点 \(M_{0}(x_{0}, y_{0})\) 作为度量弧长的基点 (如下图), 并规定依 \(x\) 增大的方向作为曲线的正向.对曲线上任一点 \(M(x, y)\),规定有向弧段 \(\overgroup{M_{0} M}\) 的值 \(s\) (简称为弧 \(s\))如下: \(s\) 的绝对值等于这弧段的长度, 当有向弧段 \(\overgroup{M_{0} M}\) 的方向与曲线的正向一致时 \(s>0\),相反时 \(s<0\).显然,弧 \(s\) 与 \(x\) 存在函数关系: \(s=s(x)\) ,而且 \(s(x)\) 是 \(x\) 的单调增加函数.下面给出 \(s(x)\) 的微分公式:

\[ds=\sqrt{1+y'^2}dx. \]

曲率计算公式

设曲线 \(C\) 是光滑的,在曲线 \(C\) 上选定一点 \(M_{0}\) 作为度量弧 \(s\) 的基点. 设曲线上点 \(M\) 对应于弧 \(s\),在点 \(M\) 处切线的倾角为 \(\alpha\) (这里假定曲线 \(C\) 所在的平面上已设立了 \(x O y\) 坐标系),曲线上另外一点 \(M^{\prime}\) 对应于弧 \(s+\Delta s\), 在点 \(M^{\prime}\) 处切线的倾角为 \(\alpha+\Delta\alpha\) (如下图), 则弧段 \(\overgroup{M M}'\) 的长度为 \(\mid\Delta s\mid\), 当动点从 \(M\) 移动到 \(M'\) 时切线转过的角度为 \(\mid\Delta \alpha\mid\). 我们用比值 \(\frac{\mid\Delta \alpha\mid}{\mid\Delta s\mid}\)来表示曲线在这一段上的平均曲率.
若该曲线二阶可导,则有函数在一点上的曲率为:

\[K=\frac{\mid y''\mid}{(1+y'^2)^{3/2}} \]

曲率圆以及曲率半径

设曲线 \(y=f(x)\) 在点 \(M(x,y)\) 处的曲率为 \(K(K\neq0)\) .在点 \(M\) 处的曲线的法线上,在凹的一侧取一点 \(D\) ,使 \(\mid DM\mid=\frac{1}{K}=\rho\) .以 \(D\) 为圆心, \(\rho\) 为半径作圆(如下图),这个圆叫做曲线在点 \(M\) 处的曲率圆,曲率圆的圆心 \(D\) 叫做曲线在点 \(M\) 处的曲率中心,曲率圆的半径 \(\rho\) 叫做曲线在点 \(M\) 处的曲率半径.