连续

目录

• 函数连续的定义
  • 左连续与右连续
  • 区间内连续
• 连续函数的运算法则
  • 有理运算的连续性
  • 反函数的连续性
  • 复合函数的连续性
• 初等函数的连续性
• 闭区间上连续函数的性质
  • 有界性与最大值最小值定理
  • 零点定理
  • 介值定理
• 函数的间断点
  • 第一类间断点
  • 第二类间断点

函数连续的定义

设函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某一领域内有定义,如果:

\[\lim\limits_{\Delta x \to 0}\Delta y = \lim \limits_{\Delta x \to 0}[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0(或者\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)) \]

那么就称函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_0\) 连续.

左连续与右连续

若 \(\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x)=f(x_0)\),则称 \(y=f(x)\) 在点 \(x_0\) 处左连续.
若 \(\lim\limits_{x \to x_0^+}f(x)=f(x_0)\),则称 \(y=f(x)\) 在点 \(x_0\) 处右连续.
根据极限与左右极限的关系显然可知:

\[\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = f(x_0) \iff \lim\limits_{x \to x_0^-}f(x)=\lim\limits_{x \to x_0^+}f(x)=f(x_0) \]

进一步推出:函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处连续的充要条件是 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处既左连续又右连续.

区间内连续

• 开区间连续:
  如果 \(f(x)\) 在区间 \((a,b)\) 内每点都连续,则称 \(f(x)\) 在点 \((a,b)\) 内连续.
• 闭区间连续:
  若 \(f(x)\) 在区间 \((a,b)\) 内连续,在 \(x=a\) 处右连续,在 \(x=b\) 处左连续,则称 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续.

连续函数的运算法则

有理运算的连续性

设函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在点 \(x_0\) 连续,则它们的和(差) \(f±g\),积 \(f \cdot g\) 及商 \(\frac{f}{g}\) (当 \(g(x_0)\neq 0\) 时)都在点 \(x_0\) 连续

反函数的连续性

如果函数 \(y=f(x)\) 在区间 \(I_x\) 上单调增加(或单调减少)且连续,那么它的反函数 \(x=f^{-1}(y)\) 也在对应的区间 \(I_y=\{y \mid y = f(x),x\in I_x\}\) 单调增加(或单调减少)且连续.

复合函数的连续性

设函数 \(y=f[g(x)]\) 由函数 \(u=g(x)\) 与函数 \(y=f(u)\) 复合而成,并且 \(f[g(x)]\) 在 \(x_0\) 的领域上有定义.若 \(\lim\limits_{x \to x_0}g(x)=u_0\) ,而函数 \(y=f(u)\) 在 \(u=u_0\) 处连续,则:

\[\lim\limits_{x \to x_0}f[g(x)]=\lim\limits_{u\to u_0}f(u)=f(u_0) \]

为什么这里不用说明:需要保证在 \(x_0\)的某个去心领域内 \(g(x)\neq u_0\) ?
在本定理的条件中,明确说明了"函数 \(y=f(u)\) 在 \(u=u_0\) 处连续",这使得就算在 \(x_0\) 的领域中出现了 \(g(x)=u_0\) 情况(此时 \(f[g(x)]=f(u_0)\) ),也满足 \(\mid f[g(x)]-f(u_0)\mid < \varepsilon\) ,故该条件可以舍弃.

若 \(g(x_0)=u_0\) (即 \(g(x)\)在 \(x_0\) 处连续),那么可推得:

\[\lim\limits_{x \to x_0}f[g(x)]=f(u_0)=f[g(x_0)] \]

初等函数的连续性

根据连续函数的运算法则我们可以推得以下两个重要结论:

• 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的
• 一切初等函数在其定义区间都是连续的

为什么是定义区间而不是定义域?
因为定义域可能是离散的点,定义域为离散点的初等函数显然不是连续的函数,所以我们规定"连续区间":所谓"定义区间",指的是包含在定义域内的区间.

闭区间上连续函数的性质

有界性与最大值最小值定理

在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大最小值

零点定理

设函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续,且 \(f(a)\) 与 \(f(b)\) 异号(即 \(f(a) \cdot f(b)<0\) ),则在开区间 \((a,b)\) 内至少有一点 \(\xi\) ,使得 \(f(\xi)=0\).

介值定理

设函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 内连续,且在这区间的端点取不同的函数值(即 \(f(a)\neq f(b)\) ),则对于 \(f(a)\) 与 \(f(b)\) 之间的任意一个数 \(C\) ,在开区间 \((a,b)\) 内至少有一点 \(\xi\) ,使得 \(f(\xi)=C(a<\xi<b)\) .

可以看出零点定理是介值定理的一个特殊情况

• 推论:
  设函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 内连续,则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 内可以取得介于最小值\(m\)和最大值\(M\)之间的任何值.(即在闭区间 \([a,b]\) 内至少有一个点 \(\xi\) ,使得 \(f(\xi)=C(m<C<M)\) ).

注意:

1. 介值定理的推论比介值定理本身一般要更加常用.
2. 零点定理中 \(\xi\) 的范围是 \((a,b)\) ,而在介值定理的推论中 \(\xi\) 的范围是 \([a,b]\) .

函数的间断点

设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某去心领域内有定义.在此前提下,如果函数 \(f(x)\) 有下列三种情形之一:

1. 在 \(x=x_0\) 处没有定义;
2. 虽在 \(x=x_0\) 处有定义,但 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\) 不存在.
3. 虽在 \(x=x_0\) 处有定义,且 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\) 存在,但是 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\neq f(x_0)\).

那么函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 为不连续,而点 \(x_0\) 称为函数 \(f(x)\) 的不连续点或间断点.

第一类间断点

如果 \(x_0\) 是函数 \(f(x)\) 的间断点,但做极限 \(f(x_0^-)\) 及右极限 \(f(x_0^+)\) 都存在,那么 \(x_0\) 称为函数 \(f(x)\) 的第一类间断点.
如果左右极限相等则称为:可去间断点.
如果左右极限不等则称为:跳跃间断点.

第二类间断点

不是第一类间断点的都属于第二类间断点.
如果左右极限有一个趋于无穷,称为:无穷间断点.
如果函数在该点邻域内上下振荡,称为:振荡极端点.