区间DP

1. 区间DP概述

• 概念：区间dp就是在区间上进行动态规划，求解一段区间上的最优解。主要是通过合并小区间的 最优解进而得出整个大区间上最优解的dp算法。

• 核心思路：既然让我求解在一个区间上的最优解，那么我把这个区间分割成一个个小区间，求解每个小区间的最优解，再合并小区间得到大区间即可。

• 两类模板：

  • 常规区间DP模板：

    for(int len=1;len<n;len++){
        for(int l=1;l+len-1<=n;l++){
            int r=l+len-1;
            for(int k=l;k<r;k++){
                dp[l][r]=min(d[[l][r],dp[l][k]+d[k+1][r]]+temp);
            }
        }
    }
    

  • 记忆化搜索模板：

    int dfs(int x,int y){
        //出口
        for(...){
            dp[..][..]=min(dp[..][..],dfs(..,..));
        }
    }
    

2.几种的区间DP：

• 朴素版本：给你一条串，求某一段长度固定的区间和最大值。

  • 例题：石子和并

  • //关键代码
    for(int len=2;len<=n;len++){
        for(int l=1;l+len-1<=n;l++){
            int r=l+len-1;
            dp[l][r]=1e9;
            for(int k=l;k<r;k++){
                dp[l][r]=min(dp[l][r],dp[l][k]+dp[k+1][r]+b[r]-b[l-1]);
                //b数组为前缀和
            }
        }
    }
    

• 环形：在下标n与0之间断开环，同时在下标n的后面再添加一段下标0到n的元素。

  • 例题：环形石子合并

  • //关键代码
    for(int len=1;len<=n;len++){
        for(int l=1;l+len-1<=2*n;l++){
            int r=l+len-1;
            if(l==r)
                dp1[l][r]=0;
            for(int k=l;k<r;k++){
                dp1[l][r]=min(dp1[l][r],dp1[l][k]+dp1[k+1][r]+b[r]-b[l-1]);
            }
        }
    }
    

• 二维区间DP：

  • 例题：棋盘分隔

  • 题目大意：将原棋盘割下一块矩形棋盘并使剩下部分也是矩形，再将剩下的部分继续如此分割。使最后剩下的矩形棋盘共有n块矩形棋盘。并让各矩形棋盘总分的均方差最小。

  • 分析：

    • 首先确定dp维数：我们可以通过两个坐标(两对(x,y))来确定矩阵大小，再用一个变量来表示可以划分几次。
      • 即：dp[x1][y1][x2][y2][x]:矩阵左上角顶点为(x1,y1)，右下角顶点为(x2,y2)的矩阵，且分成x块后，总均方差最小的值。
    • 由于维数过多，如采用常规区间DP模板，书写较为复杂。所以这里使用记忆化搜索更为方便。
    • 因为需要求面积和，所以可以首先使用二位前缀和预处理。
    • 再使用记忆化搜索进行DFS
      • 首先判断出口条件。
      • 之后由于是二维区间DP，所以它存在两种切法：横切，竖切，所以我们都需要进行考虑。
      • DP转移方程为：(get为求二维前缀和)
        • 横切：dp[x1][y1][x2][y2][k]=get(x1,y1,i,y2)+dfs(i+1,y1,x2,y2,k-1)
dp[x1][y1][x2][y2][k]=get(i+1,y1,x2,y2)+dfs(x1,y1,i,y2,k-1)
        • 竖切：dp[x1][y1][x2][y2][k]=get(x1,y1,x2,i)+dfs(x1,i+1,x2,y2,k-1)
dp[x1][y1][x2][y2][k]=get(x1,i+1,x2,y2)+dfs(x1,y1,x2,i,k-1)

  • //关键代码
    double dfs(int x1,int y1,int x2,int y2,int k){
        double &v=dp[x1][y1][x2][y2][k];
        if (v>=0)   return v;
        if(k==1)    return get(x1,y1,x2,y2);
        v=INF;
        for(int i=x1;i<x2;i++){
            v=min(v,get(x1,y1,i,y2)+dfs(i+1,y1,x2,y2,k-1));
            v=min(v,get(i+1,y1,x2,y2)+dfs(x1,y1,i,y2,k-1));
        }
        for(int i=y1;i<y2;i++){
            v=min(v,get(x1,y1,x2,i)+dfs(x1,i+1,x2,y2,k-1));
            v=min(v,get(x1,i+1,x2,y2)+dfs(x1,y1,x2,i,k-1));
        }
        return v;
    }