关于单源最短路的综合运用

1.概述

图论题中，一般最短路问题会与其他算法相结合来进行考察。

2.最短路与DFS结合

• 题目描述：在一个有n个结点，m条无向边的图中，有x个结点必须访问，求最短路径。
• 题干分析：因为这x个结点必须访问，也可以理解为：最短路径即：这x个结点的1号结点到2号结点的最短路+2号结点到3号结点的最短路+...+n-1号结点到n号结点的最短路。
  所以问题转化为了应该如何排列这x个结点，使得1号结点依次经过其余x-1个结点，所经过的路径最短。
• 算法分析：在数据范围小的情况下，可以考虑DFS来对这个x个结点进行排列；如果数据范围较大，则应该使用其他算法。
  • 注意点：由于DFS的时间复杂度较高，所以一般需要先用Dijkstra算法对这x个结点间的最短路做预处理。时间复杂度为:O(nnn*log(m))。
• 算法框架：

int main(){
  //...
  for(int i=1;i<=x;i++){
    dijkstra(p[i]);
    for(int j=1;j<=x;j++){
      ans[i][j]=dist[p[j]]
    }
  }
  //...
  dfs();

3.最短路与二分结合

• 题目概述：怎么走，使得这条路径中的第k大的边最小。
• 题干分析：可以通过最短路算法来查找该路径中有多少条边的权重大于k。因为k的取值有二段性，所以可以使用二分查找k值。
• 算法框架：

int main(){ 
  int l=0,r=n+1;  
  while(l<r){
    int mid=(l+r)/2;
    if(dijkstra(mid)<=k){    //即把常规二分的check函数变成了求最短路算法
      r=mid
    }
    else{
      l=mid-1;
    }
  }
}

4.拓扑排序+DFS+最短路

• 题目描述：有多块区域它们通过道路(>0)相连,区域间通过航线(可正可负，单向)相连。求最短路。
• 算法分析：
  • 因为存在负权边，所以不能直接使用Dijkstra算法求最短路；同时如果数据范围较大，则SPFA算法也不可以使用。
  • 首先考虑区域间的道路，因为它们>0，所以可以使用Dijkstra算法。
  • 其次考虑航线，因为是单向的，所以可以考虑使用拓扑排序，根据拓扑序来计算各个区域间的最短路。
• 算法框架：

int main(){
  for(int i=1;i<=n;i++){
    if(!id[I]){
      dfs();        //判断哪些区域连通
    }
  }
  //输入点+入度
  tosort();       //拓扑排序
}

5.DP+最短路