二分图基础
概念
- 二分图定义：
设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。
- 二分图概念：
当且仅当图中不含奇数环。
奇数环概念：长度为奇数的环(循环圈)。
- 二分图的判定方法：染色法
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 200000;
int h[N],e[N],ne[N],idx=0;
int m,n;
int group[N];
void add(int x,int y){
e[idx]=y;ne[idx]=h[x];h[x]=idx++;
}
bool dfs(int x,int y){
group[x]=y;
for(int i=h[x];i!=-1;i=ne[i]){
int j=e[i];
if(!group[j]){
if(!dfs(j,3-y))
return false;
}
else{
if(group[j]==y)
return false;
}
}
return true;
}
int main(){
memset(h,-1,sizeof(h));
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=0;i<m;i++){
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
add(x,y);
add(y,x);
}
bool flag=true;
for(int i=1;i<=n;i++){
if(!group[i])
if(!dfs(i,1)){
flag=false;
break;
}
}
if(flag)
puts("Yes");
else
puts("No");
return 0;
}
- 增广路径：
增广路径的定义：设M为二分图G已匹配边的集合，若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径（P的起点在X部，终点在Y部，反之亦可），并且属M的边和不属M的边 (即已匹配和待的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。
增广路径是一条“交错轨”。也就说 , 它的第一条边是目前还没有参与匹配的 ,第二条边参与了匹配 ,第三条边没有······最后一条边没有参与匹配 ,并且起点和终还没有被选择过，这样交错进行 ,显然 P有奇数条边。
应用
- 最大匹配数
二分图的匹配：给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。
二分图的最大匹配：所有匹配中包含边数最多的一组匹配被称为二分图的最大匹配，其边数即为最大匹配数。
二分图的完全匹配：如果一个匹配中，图的每个顶点 都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配。
- 对于二分图的最大匹配：通常使用匈牙利算法。
匈牙利算法抽象概念：依次对左边点集找匹配，如果刚好存在，则匹配成功，个数+1；如果已被别的点集占用，且没有其他点集可以匹配，则依次判断之前已经匹配的点集是否有其他点集可以匹配，如果有则更新匹配对，个数+1，如果没有，在跳过该顶点。
- 匈牙利算法描述：
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N=100010;
int e[N],h[N],ne[N],idx=0;
int n1,n2,m;
bool st[N];
int match[N];
void add(int x,int y){
e[idx]=y;ne[idx]=h[x];h[x]=idx++;
}
bool find(int x){
for(int i=h[x];i!=-1;i=ne[i]){
int j=e[i];
if(!st[j]){
st[j]=true;
if(match[j]==0||find(match[j])){
match[j]=x;
return true;
}
}
}
return false;
}
int main(){
memset(h,-1,sizeof(h));
scanf("%d%d%d",&n1,&n2,&m);
for(int i=0;i<m;i++){
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
add(u,v);
}
int res=0;
for(int i=1;i<=n1;i++){
memset(st,false,sizeof(st));
if(find(i))
res++;
}
cout<<res<<endl;
return 0;
}
- 最小覆盖点集
- 最小边覆盖
- 最大独立集
