CF1716F Bags with Balls

标签：数学，生成函数

【5 / 100】

首先是正解：

设 \(a = \left \lfloor \dfrac{m}{2} \right \rfloor , b = m - a\)。

\[\begin{aligned} &\sum_{i=1}^{n}i^k\binom{n}{i}b^ia^{n-i}\\ =&\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{k}\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}i^{\underline{j}}\binom{n}{i}b^ia^{n-i}\\ =&\sum_{j=1}^{k}\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}j!\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}\binom{i}{j}b^ia^{n-i}\\ =&\sum_{j=1}^{k}\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}\binom{n}{j}j!\sum_{i=1}^{n}\binom{n-j}{i-j}b^ia^{n-i}\\ =&\sum_{j=1}^{k}\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}\binom{n}{j}j!b^j\sum_{i=1}^{n}\binom{n-j}{i-j}b^{i-j}a^{n-i}\\ =&\sum_{j=1}^{k}\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}\binom{n}{j}j!b^j(a+b)^{n-j}\\ \end{aligned}\]

然后我们可以给出一个生成函数做法。

先不管 \(k\) 次方的事情，设出生成函数为 \(F(x) = (a + bx) ^ n\)。

然后我们把 \(x\) 用 \(e^x\) 代入，答案就是 \(k![x^k]F(e^x)\)。

使用多项式操作即可达到单次 \(O(k \log k)\)。