CF1468I Plane Tiling

标签：数学

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首先考虑 \(a \times dx_1 + b \times dx_2 = x\) 固定的情况。

那么可以得到所有可行的 \(a, b\)，记 \(G = \gcd (dx_1, dx_2)\)：

\[\left\{\begin{matrix} a = a_0 + t\dfrac{dx_2}{G} \\ b = b_0 - t\dfrac{dx_1}{G} \end{matrix}\right.\]

带入到另一个式子里可以得到：

\[(a_0 + t\dfrac{dx_2}{G})dy_1 + (b_0 - t\dfrac{dx_1}{G})dy_2 \]

那么发现 \(t\) 的系数是 \(C = \dfrac{\left | dx_2dy_1-dx_1dy_2 \right | }{G}\)，也就是我们得到了 \(x\) 固定的时候 \(y\) 的步长。

那么 \(x\) 的步长是显然的，为 \(G\)。

那么要不重不漏，也就是要恰好有 \(CG\) 个数字填补空缺。