真正理解矩阵
来源
转自孟岩，从很独特的角度理解矩阵。
笔记
空间是能够容纳运动的对象的集合。在线性空间中，选定了基（坐标系）后，就可用向量刻画对象；用矩阵刻画运动，而用矩阵乘向量刻画施加的运动。故矩阵的本质就是运动的描述，能刻画线性空间中点的运动；而向量是简单的矩阵。
这里的运动不同于物理中连续的运动，而是瞬间的从一点到另一点的运动（即跃迁），术语为“变换”，因此，矩阵是对线性空间里变换（即线性变换）的描述。
选的基（坐标系）不同，同一个变换就有不同的描述，即有不同的矩阵，这些矩阵是相似的，矩阵A,B相似等价于存在满秩矩阵P使得A=P的逆×B×P
实际上，矩阵不仅可作为线性变换的描述，而且可以作为一组基的描述（选定基后才有矩阵，而矩阵可以反过来表示基）；矩阵作为线性变换的描述时不仅可描述点的变换，而且可以描述基的变换。此外，变换点与变换基具有殊途同归之效。
考虑到矩阵是由向量组成的，选了笛卡尔坐标系的基（单位长为1）后向量就有了坐标，从而矩阵也有了各数字表示。如果矩阵满秩，那么矩阵各个向量就组成了一组基，也就是一个坐标系，因此矩阵是坐标系的描述，这个坐标系是在I下度量的。因此可以从坐标变换角度理解：
矩阵是坐标系的描述，固定坐标系时对象的运动等价于固定对象时坐标系的变换，即运动是相对的，数学中也如此。所以MN=A可以从这个角度理解：IMN=IA，一个坐标系在笛卡尔基I下描述为坐标系M，在坐标系M度量下的对象N在笛卡尔基I下的度量为A！！！这里，对象可以是向量或矩阵（向量的组合）。例子：M=[[3，0]，[0，2]]，N=[1，1]，A=[3，2]，在坐标系M中坐标为[1，1]者在坐标系I中的坐标为[3，2]。
这里的运动不同于物理中连续的运动，而是瞬间的从一点到另一点的运动（即跃迁），术语为“变换”，因此，矩阵是对线性空间里变换（即线性变换）的描述。
选的基（坐标系）不同，同一个变换就有不同的描述，即有不同的矩阵，这些矩阵是相似的，矩阵A,B相似等价于存在满秩矩阵P使得A=P的逆×B×P
实际上，矩阵不仅可作为线性变换的描述，而且可以作为一组基的描述（选定基后才有矩阵，而矩阵可以反过来表示基）；矩阵作为线性变换的描述时不仅可描述点的变换，而且可以描述基的变换。此外，变换点与变换基具有殊途同归之效。
考虑到矩阵是由向量组成的，选了笛卡尔坐标系的基（单位长为1）后向量就有了坐标，从而矩阵也有了各数字表示。如果矩阵满秩，那么矩阵各个向量就组成了一组基，也就是一个坐标系，因此矩阵是坐标系的描述，这个坐标系是在I下度量的。因此可以从坐标变换角度理解：
矩阵是坐标系的描述，固定坐标系时对象的运动等价于固定对象时坐标系的变换，即运动是相对的，数学中也如此。所以MN=A可以从这个角度理解：IMN=IA，一个坐标系在笛卡尔基I下描述为坐标系M，在坐标系M度量下的对象N在笛卡尔基I下的度量为A！！！这里，对象可以是向量或矩阵（向量的组合）。例子：M=[[3，0]，[0，2]]，N=[1，1]，A=[3，2]，在坐标系M中坐标为[1，1]者在坐标系I中的坐标为[3，2]。
矩阵的意义是线性变换, 相似矩阵是同一个线性变换在不同的基下的表示。
n维方阵的行列式就是其各维按照平行四边形法则构成的n维体的体积，n为2时是面积，为3时是三棱柱的体积。（也可以理解为单位阵所表示的n维体经其变换后的体积)
道可道，非常道；名可名，非常名，矩阵是真正的不可道之道，不可名之名。
some books
齐民友《重温微积分》
《计算机图形学—几何工具算法详解》
