abc176F题解
abs176F
题意:
给定长度为\(3\times n\)，值域是\([1,n]\)的序列，不断下列操作直至序列剩余\(3\)个数：
1.对序列最左侧\(5\)个数进行任意排列。
2.取出序列最左侧\(3\)个数，如果\(3\)个数一样，则得分加一，然后删除这三个数。
问最大得分为多少。
思路：
神仙dp题。
首先有一个显然的\(\Theta(n^3)\)dp。状态\(f_{i,j,k}\)表示进行完\(i\)次操作后，最左侧两个数是\(j\)和\(k\)。转移是\(\Theta (1)\)的。
这里有单调性，\(f_{i-1,j,k}\le f_{i,j,k}\)。所以并不用将所有的{j,k}全部转移，下面让我们看看有哪些转移：
能有\(3\)个一样的:
1.当\(a_3=a_4=a_5\)，对于所有的\(1\le j,k\le n\)，\(f_{i-1,j,k}+1\to f_{i,j,k}\)，无其他转移，因为是全局加一，可以打一个全局tag。转移\(\Theta(1)\)。
2.当\(a_{3\sim 5}\)中有两个相等，且等于\(k\)，设\(a_{3\sim 5}\)中与其他两个不等的是\(x\)，对于所有的\(1\le j,k\le n\)，\(f_{i-1,j,k}+1\to f_{i,j,x}\)，这里设\(g_{i,j}=\max_{1\le k\le n} f_{i,j,k}\)。转移\(\Theta(1)\)，转移数量\(\Theta(n)\)。
3.当\(j=k\)，且\(a_{3\sim 5}\)中有一个与\(j\)相等，\(f_{i-1,a_3,a_3}+1\to f_{i,a_4,a_5}\)，其余同理，转移\(\Theta(1)\)，转移数量\(\Theta(1)\)。
没有\(3\)个一样的:
1.把\(a_{3\sim 5}\)都放到最左侧的\(3\)个，对于所有的\(1\le j,k\le n\)，\(f_{i-1,j,k}\to f_{i,j,k}\)，对于这里，我们可以把第一维滚掉，就不需要转移了。
2.恰好把\(a_{3\sim 5}\)中的两个放在最左侧的\(3\)个，如把\(a_3\)，\(a_4\)放在最左侧，则对于任意的\(1\le j,k\le n\)，\(f_{i-1,j,k}\to f_{i,j,a_5}\)，通过前面定义的\(g_{i,j}\)，这里的转移是\(\Theta(1)\)，转移数量是\(Theta(n)\)的。
3.恰好把\(a_{3\sim 5}\)中的一个放在最左侧的\(3\)个，如把\(a_3\)放在最左侧，则对于任意的\(1\le j,k\le n\)，\(f_{i-1,j,k}\to f_{i,a_3,a_4}\)，这里设\(h_i=\max_{1\le j,k\le n} f_{i,j,k}\)。转移\(\Theta(1)\)，转移数量\(\Theta(1)\)。
总复杂度\(\Theta(n^2)\)。
代码:
#include<iostream>
using namespace std;
int n;
int a[6010];
int f[2010][2010];
int g[2010];
struct node{
int x,y,zhi;
}dui[2000010];
int cnt;
int add;
int sy;
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=3*n;i++){
cin>>a[i];
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
f[i][j]=-n;
}
g[i]=-n;
}
f[a[1]][a[2]]=0;
f[a[2]][a[1]]=0;
g[a[1]]=0;
g[a[2]]=0;
sy=0;
for(int i=1;i<n;i++){
cnt=0;
if(a[i*3]==a[i*3+1]&&a[i*3]==a[i*3+2]){
add++;
continue;
}
if(a[i*3]>a[i*3+1]){
swap(a[i*3],a[i*3+1]);
}
if(a[i*3+1]>a[i*3+2]){
swap(a[i*3+1],a[i*3+2]);
}
if(a[i*3]>a[i*3+1]){
swap(a[i*3],a[i*3+1]);
}
if(a[i*3]==a[i*3+1]){
for(int j=1;j<=n;j++){
if(j!=a[i*3]){
dui[++cnt].x=a[i*3+2];
dui[cnt].y=j;
dui[cnt].zhi=f[a[i*3]][j]+1;
dui[++cnt].x=j;
dui[cnt].y=a[i*3+2];
dui[cnt].zhi=f[a[i*3]][j]+1;
}
}
}
if(a[i*3+1]==a[i*3+2]){
for(int j=1;j<=n;j++){
if(j!=a[i*3+1]){
dui[++cnt].x=a[i*3];
dui[cnt].y=j;
dui[cnt].zhi=f[a[i*3+1]][j]+1;
dui[++cnt].x=j;
dui[cnt].y=a[i*3];
dui[cnt].zhi=f[a[i*3+1]][j]+1;
}
}
}
for(int j=1;j<=3;j++){
dui[++cnt].x=a[i*3+1];
dui[cnt].y=a[i*3+2];
dui[cnt].zhi=f[a[i*3]][a[i*3]]+1;
dui[++cnt].x=a[i*3+2];
dui[cnt].y=a[i*3+1];
dui[cnt].zhi=f[a[i*3]][a[i*3]]+1;
int tmp=a[i*3];
a[i*3]=a[i*3+1];
a[i*3+1]=a[i*3+2];
a[i*3+2]=tmp;
}
for(int j=1;j<=n;j++){
for(int k=0;k<=2;k++){
dui[++cnt].x=a[i*3+k];
dui[cnt].y=j;
dui[cnt].zhi=g[j];
dui[++cnt].x=j;
dui[cnt].y=a[i*3+k];
dui[cnt].zhi=g[j];
}
}
for(int j=0;j<=2;j++){
for(int k=0;k<=2;k++){
if(j!=k){
dui[++cnt].x=a[i*3+j];
dui[cnt].y=a[i*3+k];
dui[cnt].zhi=sy;
}
}
}
for(int j=1;j<=cnt;j++){
f[dui[j].x][dui[j].y]=max(f[dui[j].x][dui[j].y],dui[j].zhi);
g[dui[j].x]=max(g[dui[j].x],dui[j].zhi);
g[dui[j].y]=max(g[dui[j].y],dui[j].zhi);
sy=max(sy,dui[j].zhi);
}
}
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
ans=max(ans,f[i][j]+(i==a[3*n]&&j==a[3*n]));
}
}
cout<<ans+add;
return 0;
}
