动态dp
两天时间学习了动态dp。
题目洛谷P4719
首先我们假设如果它是普通dp。
设计状态\(f[i][0/1]\)表示以\(i\)为根的子树中选或不选\(i\)结点的最大独立集的值。
状态转移
\(f[i][0]=\sum_{j\in N(i)} \max(f[j][0],f[j][1])\)
\(f[i][1]=\sum_{j\in N(i)} f[j][0]\)
但它是带修的，这里可以用树剖+线段树实现。
但是每修改一个点，对从它到根的点都有影响，但是如果我们可以使一条重链上的点一次处理，每次修改最多就修改\(log_2n\)次就可以了，那如何一次改一条重链呢？
会发现一个点的重儿子变化时，它其余的轻儿子不变，且一个点只有一个重儿子，设计状态\(g[i][0/1]\)表示以\(i\)为根的子树除去以\(zs[i]\)为根的子树中选或不选\(i\)结点的最大独立集的值。
状态转移
\(g[i][0]=\sum_{j\in N(i),j\ne zs[i]} \max(f[j][0],f[j][1])\)
\(g[i][1]=\sum_{j\in N(i),j\ne zs[i]} f[j][0]\)
\(\begin{bmatrix}
f[i][0]
\\
f[i][1]
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
g[i][0] & g[i][0]
\\
f[i][1] & -\infty
\end{bmatrix} *\begin{bmatrix}
f[zs[i]][0]
\\
f[zs[i]][1]
\end{bmatrix}\)
（\(A=B*C\)表示\(A[i][j]=\max_{1\le k\le 2} B[i][k]+C[k][j]\)）
只要用线段树维护矩阵B就可以了。
代码：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define INF 1000000000
#define int long long
using namespace std;
int n,m;
int a[100010];
struct node{
int to;
int nxt;
}edge[200010];
int head[100010],tot;
void addedge(int u,int v){
edge[++tot].to=v;
edge[tot].nxt=head[u];
head[u]=tot;
}
int deep[100010];
int dfn[100010],cnt;
int dui[100010];
int sum[100010];
int zs[100010];
int fa[100010];
int top[100010];
int g[100010][2];
int f[100010][2];
int bg[100010],ed[100010];
struct nod{
int l,r;
int jz[2][2];
}tree[400010];
void dfs1(int u){
sum[u]=1;
for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt){
int v=edge[i].to;
if(fa[u]==v){
continue;
}
fa[v]=u;
deep[v]=deep[u]+1;
dfs1(v);
sum[u]+=sum[v];
if(sum[v]>sum[zs[u]]){
zs[u]=v;
}
}
}
void dfs2(int u,int t){
top[u]=t;
dfn[u]=++cnt;
dui[cnt]=u;
if(zs[u]!=0){
dfs2(zs[u],t);
}
else{
ed[t]=cnt;
}
for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt){
int v=edge[i].to;
if(v==fa[u]||v==zs[u]){
continue;
}
bg[v]=cnt+1;
dfs2(v,v);
}
}
void dfs3(int u){
g[u][1]=a[u];
for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt){
int v=edge[i].to;
if(fa[u]==v||zs[u]==v){
continue;
}
dfs3(v);
g[u][0]+=max(f[v][1],f[v][0]);
g[u][1]+=f[v][0];
}
if(zs[u]!=0){
dfs3(zs[u]);
f[u][0]=g[u][0]+max(f[zs[u]][1],f[zs[u]][0]);
f[u][1]=g[u][1]+f[zs[u]][0];
}
else{
f[u][0]=g[u][0];
f[u][1]=g[u][1];
}
}
void push_up(int i){
for(int j=0;j<=1;j++){
for(int k=0;k<=1;k++){
tree[i].jz[j][k]=max(tree[i*2].jz[j][0]+tree[i*2+1].jz[0][k],tree[i*2].jz[j][1]+tree[i*2+1].jz[1][k]);
}
}
// tree[i].jz[0][0]=max(tree[i*2].jz[0][0]+tree[i*2+1].jz[0][0],tree[i*2].jz[0][1]+tree[i*2+1].jz[1][0]);
// tree[i].jz[0][1]=tree[i*2].jz[0][0]+tree[i*2+1].jz[0][1];
// tree[i].jz[1][0]=tree[i*2].jz[1][0]+tree[i*2+1].jz[0][0];
}
void build(int i,int l,int r){
tree[i].l=l;
tree[i].r=r;
if(l==r){
tree[i].jz[0][0]=g[dui[l]][0];
tree[i].jz[0][1]=g[dui[l]][0];
tree[i].jz[1][0]=g[dui[l]][1];
tree[i].jz[1][1]=-INF;
return ;
}
int mid=(l+r)/2;
build(i*2,l,mid);
build(i*2+1,mid+1,r);
push_up(i);
//cout<<i<<" "<<l<<" "<<r<<" "<<tree[i].jz[0][0]<<" "<<tree[i].jz[0][1]<<" "<<tree[i].jz[1][0]<<endl;
return ;
}
void change(int i,int p){
if(tree[i].l==tree[i].r){
tree[i].jz[0][0]=g[dui[p]][0];
tree[i].jz[0][1]=g[dui[p]][0];
tree[i].jz[1][0]=g[dui[p]][1];
tree[i].jz[1][1]=-INF;
return ;
}
if(tree[i*2].r>=p){
change(i*2,p);
}
else{
change(i*2+1,p);
}
push_up(i);
return ;
}
void search(int i,int l,int r,int ans[2][2]){
if(tree[i].l>=l&&tree[i].r<=r){
ans[0][0]=tree[i].jz[0][0];
ans[0][1]=tree[i].jz[0][1];
ans[1][0]=tree[i].jz[1][0];
ans[1][1]=tree[i].jz[1][1];
return ;
}
if(tree[i*2].r>=r){
search(i*2,l,r,ans);
return ;
}
if(tree[i*2+1].l<=l){
search(i*2+1,l,r,ans);
return ;
}
int s1[2][2];
int s2[2][2];
search(i*2,l,r,s1);
search(i*2+1,l,r,s2);
for(int j=0;j<=1;j++){
for(int k=0;k<=1;k++){
ans[j][k]=max(s1[j][0]+s2[0][k],s1[j][1]+s2[1][k]);
}
}
return ;
}
signed main(){
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
}
for(int i=1;i<n;i++){
int u,v;
cin>>u>>v;
addedge(u,v);
addedge(v,u);
}
deep[1]=1;
dfs1(1);
bg[1]=1;
dfs2(1,1);
dfs3(1);
build(1,1,n);
while(m--){
int x,y;
cin>>x>>y;
g[x][1]-=a[x];
g[x][1]+=y;
change(1,dfn[x]);
a[x]=y;
while(x!=0){
if(top[x]!=1){
g[fa[top[x]]][0]-=max(f[top[x]][1],f[top[x]][0]);
g[fa[top[x]]][1]-=f[top[x]][0];
}
int ans[2][2];
search(1,bg[top[x]],ed[top[x]],ans);
f[top[x]][0]=max(ans[0][0],ans[0][1]);
f[top[x]][1]=max(ans[1][0],ans[1][1]);
if(top[x]!=1){
g[fa[top[x]]][0]+=max(f[top[x]][1],f[top[x]][0]);
g[fa[top[x]]][1]+=f[top[x]][0];
change(1,dfn[fa[top[x]]]);
}
x=fa[top[x]];
}
cout<<max(f[1][0],f[1][1])<<endl;
}
return 0;
}
