树状数组：从基础到极致

by hukk

树状数组是一种树形结构的数据结构，可以支持 $O (\log_{2} n)$ 级别的区间操作。

最原始的树状数组仅支持单点修改与区间查询，配合上差分使用可以做到区间修改与单点查询。树状数组在加上各种扩展后可以支持很多其他操作，能够部分赶上并超过线段树的表现，而且其时空复杂度常数显著优于线段树。由于它好写好调，一直以来被许多 OIer 所喜爱。

前置知识

阅读本文，您至少需要了解：
- 常用数学符号如 $\sum$ 等；
- 前缀和与差分；
- 补码表示法与位运算。
如果您还要阅读本文的进阶部分，您还需要掌握：
- 二维前缀和、差分
- 线段树
- 平衡树
- 可持久化数据结构基础

树状数组基础

概念

引入

考虑以下问题（即洛谷 P3374 【模板】树状数组 1）：

给定长度为 $n$ 的数列 ${a_{n}}$ 和 $m$ 次操作。
操作 1：给定 $x, k$ ，将 $a_{x}$ 加上 $k$ 。
操作 2：给定 $l, r$ ，求 $\sum_{i = l}^{r} a_{i}$ 即 $a_{l} + a_{l + 1} + \dots + a_{r}$ 。

可以发现，无论使用朴素算法或是前缀和都会有一个操作时间复杂度为单次 $O (n)$ ，总复杂度为 $O (n m)$ 。

树状数组可以做到两个操作均为单次 $O (\log_{2} n)$ ，接下来介绍它的思想。

数组 d

我们构造一个数组 $d$ ，使它与 $a$ 有如下对应关系：

$d$	$a$
$d_{1}$	$a_{1}$
$d_{2}$	$a_{1} + a_{2}$
$d_{3}$	$a_{3}$
$d_{4}$	$a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}$
$d_{5}$	$a_{5}$
$d_{6}$	$a_{5} + a_{6}$
$d_{7}$	$a_{7}$
$d_{8}$	$a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} + a_{7} + a_{8}$
$d_{i}$	$\sum_{j = i - lowbit (i) + 1}^{i} a_{j}$

把上表画成图就是下面这样的（很经典的图）：

示意图

可以发现，在 $d$ 中：

奇数编号的位置只记录了本身的信息。
2 的整数次幂的位置记录了完整的前缀和。

那其他规律呢？还有表中最后一行的 $lowbit$ 是什么意思？

基本操作

lowbit

定义

如果一个正整数 $x$ 的二进制表示为

\begin{matrix} x & = & (1 \dots 1 \underset{⏟}{00 \dots 00})_{2} \\ n 个 0 \end{matrix}

即末尾有 $n$ 个 $0$ ，则满足

\begin{matrix} lowbit (x) & = & (1 \underset{⏟}{00 \dots 00})_{2} \\ n 个 0 \end{matrix}

也就是说， $lowbit (x)$ 就是只保留 $x$ 在二进制表示下最后一个 $1$ 及其后的 $0$ ，或者说找到 $x$ 二进制下最低位的 1 的位置。

举例：

$5 = (101)_{2}$ ，则有 $lowbit (5) = (1)_{2} = 1$ 。
$6 = (110)_{2}$ ，则有 $lowbit (6) = (10)_{2} = 2$ 。
$12 = (1100)_{2}$ ，则有 $lowbit (12) = (100)_{2} = 4$ 。
$20 = (10100)_{2}$ ，则有 $lowbit (20) = (100)_{2} = 4$ 。

我们再回过头去看图，就能看到：在 $d$ 中的每个位置都记录了长度为 $lowbit (编号)$ 、以自身结尾的一段的和。

计算

利用 C++ 中的位运算与补码表示法，可以研究出多种计算 $lowbit$ 的方法。以下介绍最常用的一种。

在 C++ 中，有 lowbit(x)=x&-x。

为什么呢？请看下面的表格。

`x`	`-x` 即 `(~x)+1`	`x&-x`
`01...10...00`	`10...10...00` 即 `10...01...11+1`	`10...00`

显然，lowbit(x)=x&-x 是成立的。常定义以下函数：

int lowbit(int x){
    return x&-x;
}

查询与修改

我们已经知道了数组 $d$ （其实就是树状数组）中记录的信息，怎样才能修改这些信息呢？

为了方便，这里把上面的图搬下来。

示意图

查询

上面讲的树状数组可以 $O (\log_{2} n)$ 查询前缀和，具体是这样的：

先访问将要查询的前缀和的末尾；
向上爬一层，往前走，累加答案；
重复直到已经累加完毕。

例如：查询前 7 项的和。

访问 $d_{7}$ ；
向上一层，累加 $d_{6}$ ；
再次向上，累加 $d_{4}$ ；
查询完毕，结果为 $d_{7} + d_{6} + d_{4}$ 。

像这样，就可以不重不漏地统计每个位置的信息（看看图， $d_{7}, d_{6}, d_{4}$ 是不是恰好覆盖了 $a_{1}, a_{2}, \dots a_{7}$ ？）。

如何确定下次加哪个位置呢？很简单：如果你这次累加了 $d_{x}$ ，那么下一个就是 $d_{x - lowbit (x)}$ 。也就是循环减 $lowbit$ 。（不信试试看？）

修改

类似查询，也是一层层往上爬，但是方向变了。

先修改原位置；
向上爬，修改包含原位置信息的后续位置。

例如：修改位置 3，就会改变 $d_{3}, d_{4}, d_{8}$ 。

如何确定下次改哪个位置呢？类似地，如果你这次修改到了 $d_{x}$ ，那么下一个就是 $d_{x + lowbit (x)}$ 。也就是循环加 $lowbit$ 。（同样，自己验证一下？）

至此，你已经学会了树状数组的基本操作了，接下来我们看看它的使用。

使用及代码

建树

在使用之前，一般需要通过原数据构造树状数组，多数人把这个过程称为建树或预处理。

建树有两种方法：

逐个位置修改，复杂度 $O (n \log_{2} n)$ ；
利用树状数组的性质，即上面讲的修改的性质递推，复杂度 $O (n)$ 。

详见代码。

//本文中所有代码均设原序列长度为 n，并默认已定义 lowbit()

for(int i=1;i<=n;i++){ //方法 1
    add(i,a[i]); //add 函数，用于修改，参见修改部分代码。
}

for(int i=1;i<=n;i++){ //方法 2
    d[i]+=a[i];
    if(i+lowbit(i)<=n) //注意边界
        d[i+lowbit(i)]+=d[i];
}

查询与修改

前面讲过了，只是要注意边界问题。循环加减 $lowbit$ 即可。

代码：

void add(int x,int k){ //在 x 位置上加上 k
    while(x<=n){
        d[x]+=k; //修改
        x+=lowbit(x); //往上爬
    }
}

int query(int x){ //查询前 x 个数的和
    int ans=0;
    while(x>0){
        ans+=d[x]; //累加
        x-=lowbit(x); //往上爬
    }
}

时空复杂度分析

可以看出，树状数组单次操作的时间复杂度与其层数有关。

容易证明，若原序列长度为 $n$ ，则树状数组的层数为 $⌊ \log_{2} n ⌋ + 1$ ，故树状数组单次操作时间复杂度为 $O (\log_{2} n)$ 。

同时，树状数组拥有比线段树小得多的时间复杂度常数。（树状数组时间复杂度常数约 $\frac{1}{2}$ ，而线段树约为 $4$ 。）

树状数组的空间复杂度为 $O (n)$ 。

应用与变式

区间修改、单点查询

如果使用上述树状数组维护原数组的差分数组，就可以实现区间修改、单点查询。

求逆序对

我们在值域上开树状数组，表示某数是否在序列中出现过( $0$ 为没出现过， $1$ 为出现过)。

那么 add 函数就是把数依次加入到序列中，query 函数就是统计序列中值小于等于某数的个数。

我们依次将给定的序列输入，每次输入一个数时，就将当前序列中大于这个数的元素的个数计算出来，并累加到答案，最后的答案就是这个序列的逆序数个数。

若是值域很大，离散化即可。

例题

树状数组进阶

除了最基本的树状数组及其变式，它还有各种高级扩展用法。

二维树状数组

本质上就是用树状数组维护二维前缀和信息，两层循环查询与修改即可。

修改与查询函数变为以下代码：

//设原二维数组有 n 行 m 列

void add(int x,int y,int k){
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
        for(int j=y;j<=m;j+=lowbit(j))
    	    d[i][j]+=k;
}

int query(int x,int y){
    int ans=0;
    for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
        for(int j=y;j>0;j-=lowbit(j))
            ans+=d[i][j];
    return ans;
}

树状数组与线段树

区间加法

定义：

$a$ 为原数组。
$s u m$ 为前缀和数组，记 $s u m [x] = \sum_{i = 1}^{x} a_{i}$ 。
$d e l t a$ 为差分数组，记 $Δ a_{x} = \sum_{i = 1}^{x} d e l t a [i]$ 。

有：

\begin{aligned} s u m [x] & = \sum_{i = 1}^{x} a_{i} + \sum_{i = 1}^{x} [d e l t a [i] \times (x - i + 1)] \\ = \sum_{i = 1}^{x} a_{i} + x \times \sum_{i = 1}^{x} d e l t a [i] - \sum_{i = 1}^{x} [d e l t a [i] \times (i - 1)] \end{aligned}

那么可以把 $s u m$ 拆成三部分维护。具体而言，使用 $d 1$ 维护 $d e l t a$ 数组的和， $d 2$ 维护 $d e l t a [i] \times (i - 1)$ 的和。详见代码。

void __add(int *arr,int x,int k){
    while(x<=n){
        arr[x]+=k;
        x+=lowbit(x);
    }
}
int __query(int *arr,int x){
    int ans=0;
    while(x>0){
        ans+=arr[x];
        x-=lowbit(x);
    }
    return ans;
}
void add(int l,int r,int x){
    __add(d1,l,x);
    __add(d1,r+1,-x);
    __add(d2,l,x*(l-1));
    __add(d2,r+1,-x*r);
}
int query(int l,int r){
    return (r*__query(d1,r)-(l-1)*__query(d1,l-1))-(__query(d2,r)-__query(d2,l-1));
}

区间最值

普通树状数组的实现要求所维护的数据满足区间加法与区间减法（如区间和），要能由前缀信息得到任意区间信息。

但是区间最值满足区间加法而不满足区间减法，因此需要在原来树状数组上做一些修改。

为了方便对照理解，再次放上这张图：

示意图

以下的代码均以区间最大值为例。

建树

void build(){
     for(int i=1;i<=n;i++){
         int t=lowbit(i);
          d[i]=a[i];
          for(int j=1;j<t;j*=2) //访问该位置能够覆盖的所有位置
              d[i]=max(d[i],d[i-j]);
    }
}

有不理解的，可以对照图片与下面的例子好好体会一下过程。

更新到位置 $6$ ：
更新位置 $6$ ；
访问位置 $5$ ，结束。
更新到位置 $7$ ：
更新位置 $7$ ；
没有需要访问的，结束。
更新到位置 $8$ ：
更新位置 $8$ ；
访问位置 $8 - 2^{0} = 7$ ；
访问位置 $8 - 2^{1} = 6$ ；
访问位置 $8 - 2^{2} = 4$ ；
$2^{3} = 8$ ，不小于 $8$ ，结束。

以上建树过程可以保证正确性与效率兼顾。

修改

换一种建树的方式维护了正确性，修改同样如此。

那么在更新时，我们需要查询更新位置覆盖的所有位置。

void add(int x,int k){
    a[x]=k;
    while(x<=n){
        int t=lowbit(i);
        d[x]=a[x];
        for(int j=1;j<t;j*=2)
            d[i]=max(d[i],d[i-j]);
        x+=lowbit(x);
    }
}

查询

设查询的区间为 $[L, R]$ 。

我们从 $R$ 到 $L$ 进行判断。 $d_{i}$ 控制的 $a$ 数组的元素是 $[i - lowbit (i) + 1, i]$ 。设 $l = i - lowbit (i) + 1, r = i$ 。如果 $L \leq l \leq R$ 就将 $d_{i}$ 加入最值的判断中，接着 $i \leftarrow (i - lowbit (i))$ ，否则的话就只判 $a_{i}$ ，然后 $i \leftarrow (i - 1)$ 。

代码中的 $i$ 直接用 $r$ 来代替，也就是将右端点不断左移。

int query(int l,int r){
    int ans=a[r];
    while(1){
        ans=max(ans,a[r]);
        if(r==l) break;
        r--;
        while(r-l>=lowbit(r))
            ans=max(ans,d[r]),r-=lowbit(r);
        if(r<=l) break;
    }
    return ans;
}

时空复杂度分析

时间复杂度：

建树显然是 $O (n \log_{2} n)$ 。
修改和查询均为单次 $O (\log_{2}^{2} n)$ 。

空间复杂度： $O (n)$ 。

例题

P3372 【模板】线段树 1
P1198 【JSOI2008】最大数
P3865 【模板】ST 表（这一道题用树状数组不一定能通过，测试一下正确性就好。）

树状数组与平衡树

可持久化树状数组

参考资料

作者：hukk

本文的全部内容与源代码在 CC BY-SA 4.0 和 SATA 协议之条款下提供，转载请标明原作者。

posted @ 2022-06-04 20:09 hukk 阅读(94) 评论(0) 编辑收藏举报

刷新页面返回顶部

登录后才能查看或发表评论，立即登录或者逛逛博客园首页

相关博文：

· 生地会考游记

· 【数据结构】树状数组学习笔记

· 树状数组的扩展应用

· 树状数组浅谈

· 树状数组详解

阅读排行：
· 分享一个免费、快速、无限量使用的满血 DeepSeek R1 模型，支持深度思考和联网搜索！
· 基于 Docker 搭建 FRP 内网穿透开源项目（很简单哒）
· ollama系列1：轻松3步本地部署deepseek，普通电脑可用
· 按钮权限的设计及实现
· 25岁的心里话

公告

昵称： hukk
园龄： 2年9个月
粉丝： 0
关注： 0

+加关注

2025年3月

日

一

二

三

四

五

六

hukk's blog

树状数组：从基础到极致

前置知识

树状数组基础

概念

引入

数组 d

基本操作

lowbit

定义

计算

查询与修改

查询

修改

使用及代码

建树

查询与修改

时空复杂度分析

应用与变式

区间修改、单点查询

求逆序对

例题

树状数组进阶

二维树状数组

树状数组与线段树

区间加法

区间最值

建树

修改

查询

时空复杂度分析

例题

树状数组与平衡树

可持久化树状数组

参考资料

公告

搜索

常用链接

我的标签

随笔分类

随笔档案

阅读排行榜

推荐排行榜