单调队列优化DP
这段时间在重温DP,发现DP中有很大很重要的一块区域是关于DP优化的,于是来和大家分享一下各种DP优化方法,下面讲一下单调队列优化DP
- 单调队列
首先来重温下什么是单调队列,在单调队列中,每个元素的决策时间单调增而它的决策单调更劣,这就显然可以明白,最优决策永远在队首。
如果对上面基础单调队列不了解,可以先做【POJ2823】Sliding Window 这道题目体会一下再回来看后面的重点,这里就不再赘述了。
- 单调队列优化DP
在单调队列中,当区间移动时,在队头不停删除不在区间内的决策,而在队尾加入决策,在队尾加入决策前要判断是否满足单调性,否则先删除队尾决策直到加入决策后能满足单调性再加入。
下面来一道例题【POJ1821】
题意:有K个工人,和长为N的篱笆,现在要给篱笆上色。每个工人坐在Si上,他能刷的最大范围是Li,且必须是一个连续子区间,而且必须过Si,他刷完后能获得Pi钱,求总报酬最大值
思路:先设出方程,设 dp[i][j] 表示前i个工人,前 j 个篱笆的最大获利
那么dp[i][j]=dp[i-1][j](第i个人不刷)或dp[i][j]=dp[i][j-1] (第i个人不刷第j 块)
状态转移方程是 dp[i][j] = max( dp[i][j] ,dp[i-1][k] + (j-k)*P[i] ) j>=S[i],k<S[i] 且k>=j - L[i]
把加粗的那一段展开得到dp[i-1][k] - k*P[i] + j*P[i] 那么这样,前半部分只与决策k有关(除状态i),这样的话随j的增大,k取值范围下界在增大,上届不变,所以k越大时存活时间越长,而这时如果还满足前面加粗式的单增,则不难想到,可以用单调队列优化,优化后时间复杂度为O(NM)
#include <cstdio> #include <cstring> #include <cstdlib> #include <algorithm> #include <iostream> #define N 120 #define M 17000 using namespace std; struct AC { int l,p,s; }re[N]; int q[M],l[N],r[N],dp[N][17000],n,k; inline bool cmp(const AC &a,constAC &b) { return a.s<b.s; } void solve() { for(int i=0;i<=n;i++) dp[0][i]=0; for(int i=1;i<=k;i++) { for(int j=0;j<re[i].s;j++) dp[i][j]=dp[i-1][j]; //第i个粉刷匠不刷任何墙 int h=0,t=0; for(int j=l[i],tmp;j<re[i].s;j++) //将dp[i-1]层的最优状态存入单调队列 { tmp=dp[i-1][j]-j*re[i].p; while(t>h&&dp[i-1][q[t-1]]-q[t-1]*re[i].p<=tmp) t--; q[t++]=j; } for(int j=re[i].s,tmp;j<=r[i];j++) { while(t>h&&j-q[h]>re[i].l) h++; //弹出不在范围中的元素 dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]); dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][q[h]]+(j-q[h])*re[i].p); } for(int j=r[i]+1;j<=n;j++) dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]); } int ans=0; for(int i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,dp[k][i]); printf("%d\n",ans); } int main() { while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF) { for(int i=1;i<=k;i++) scanf("%d%d%d",&re[i].l,&re[i].p,&re[i].s); sort(re+1,re+1+k,cmp); for(int i=1;i<=k;i++) { l[i]=max(0,re[i].s-re[i].l); r[i]=min(n,re[i].s+re[i].l-1); } solve(); } return 0; }