差分约束小结

定义：如果一个系统由n个变量和m个约束条件组成，形成m个形如ai-aj≤k的不等式(i,j∈[1,n],k为常数),则称其为差分约束系统。

我们知道差分约束系统是借助于最短路实现的，那我们在知道了定义之后就来看一下如何将几个不等式放到图上。

假设我们有一个不等式a-b<=c，那我们可以将它变为a<=b+c，所以我们便可以将这个表达式表示为点a向点b连一条权值为c的边，而如果同时有一个不等式a-b>=c，我们便可以将其变为b-a<=c，即b<=a+c，我们便可以由a向b连一条权值为c的边。我们在连好边之后要考虑的便是到底要跑最短路还是最长路。

假设我们要求c-a的最大值，而我们现在有c-a<=k1+k2和c-a<=k3两个式子，那我们知道为了同时满足这两个式子c-a的最小值应该是min{k1+k2,k3}。而如果我们如果要求c-a的最小值且有c-a>=k1+k2和c-a>=k3两个式子，c-a的取值便应该是max{k1+k2,k3}，所以我们不难发现求最小值的时候要跑最长路，而求最大值的时候要跑最短路。

在知道以上这些之后做差分约束的题应该就不难了。