235D Graph Game

传送门

题目大意

https://www.luogu.org/problemnew/show/CF235D

分析

我们先考虑它是树的情况

我们设$event(x,y)$表示删除点x是y与x联通这件事对答案贡献的期望

我们设x到y这一条链的长度为$len$，$x$和$y$所属联通块的大小为$n$

则我们可以猜测$event$的值为$\frac{1}{len}$

我们可以用数学归纳法证明

我们知道直接选到$x$的概率为$\frac{1}{n}$

先选到其它点再通过若干步选到x的概率为$\frac{n-len}{n} * \frac{1}{len}$

由此得证

于是我们在考虑它是基环树的情况

我们不难发现对于不经过环的路径没有影响

而其它路径我们把它不经过环的那些距离设为$x$，经过环的两条路分别为$y$和$z$

$event(x,y)$发生的概率实际上就是这两条路中$x$是任意一条路上第一个被删除的结点的概率

我们再容斥一下就可以得到$event(x,y) = \frac{1}{x+y} + \frac{1}{x+z} - \frac{1}{x+y+z}$

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<ctime>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#include<stack>
using namespace std;
int n,m,dep[5000],id[5000],cnt,sum,acc[5000],lca[3020][3020],f[5000];
int dfn[5000],low[5000],ist[5000],belong[5000],tot[5000],maxid;
double Ans;
stack<int>a;
vector<int>v[5000];
inline void tarjan(int x,int fa){
    dfn[x]=low[x]=++cnt;
    a.push(x);
    ist[x]=1;
    for(int i=0;i<v[x].size();i++)
      if(v[x][i]!=fa){
        if(!dfn[v[x][i]]){
            tarjan(v[x][i],x);
            low[x]=min(low[x],low[v[x][i]]);
        }else if(ist[v[x][i]]){
            low[x]=min(low[x],dfn[v[x][i]]);
        }
      }
    if(low[x]==dfn[x]){
      sum++;
      while(1){
          int u=a.top();
          a.pop();
          ist[u]=0;
          belong[u]=sum;
          tot[sum]++;
          if(u==x)break;
      }
    }
}
inline int sf(int x){return f[x]==x?x:f[x]=sf(f[x]);}
inline void work(int x,int ac,int fa){
    acc[x]=ac;
    f[x]=x;
    for(int i=0;i<v[x].size();i++)
      if(v[x][i]!=fa&&tot[belong[v[x][i]]]==1){
          dep[v[x][i]]=dep[x]+1;
          work(v[x][i],ac,x);
          if(sf(v[x][i])!=sf(x))
          f[sf(v[x][i])]=sf(x);
      }
    for(int i=1;i<=n;i++)
      if(acc[i]==ac)lca[x][i]=lca[i][x]=sf(i);
}
inline void dfs(int x,int fa){
    id[x]=id[fa]+1,dep[x]=1,acc[x]=x;
    work(x,x,x);
    for(int i=0;i<v[x].size();i++)
      if(v[x][i]!=fa&&!id[v[x][i]]){
          if(tot[belong[v[x][i]]]>1)dfs(v[x][i],x);
      }
}
int main(){
    int i,j,k,x,y;
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;i++){
      scanf("%d%d",&x,&y);
      x++,y++;
      v[x].push_back(y);
      v[y].push_back(x);
    }
    for(i=1;i<=n;i++)
      if(!dfn[i])tarjan(i,0);
    for(i=1;i<=n;i++)
      if(tot[belong[i]]>1){
          id[i]=1;
          maxid=tot[belong[i]];
          dfs(i,0);
          break;
      }
   for(i=1;i<=n;i++)
      for(j=1;j<=n;j++){
          if(acc[i]==acc[j])Ans+=1.0/(dep[i]+dep[j]-2*dep[lca[i][j]]+1);
            else {
                int x=dep[i]+dep[j],y=abs(id[acc[i]]-id[acc[j]])-1,z=maxid-y-2;
                Ans+=1.0/(x+y)+1.0/(x+z)-1.0/(x+y+z);
            }
      }
    printf("%0.7lf\n",Ans);
    return 0;
}