数论总结转的
数论问题总结
一：欧几里德算法
定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数，则有
d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数
假设d 是(b,a mod b)的公约数，则
d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证 。
其算法：(a为任意非负整数，b为任意正整数)
{
if(a<b)
return gcd(b,a);
if(b==0)
return a;
else
return (gcd(b,a%b));
}
迭代形式为：
int gcd（int a，int b）
{
int r,t;
if(a<b){
t=a;a=b;b=t;}
while(b!=0)
{
r=b;
b=a%b;
a=r;
}
return a;
}
补充: 扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组p，q使得p * a+q * b = Gcd(a, b) (解一定存在，根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。下面是一个使用C++的实现：
{
if(b == 0)
{
x = 1;
y = 0;
return a;
}
int r = exGcd(b, a % b, x, y);
int t = x;
x = y;
y = t - a / b * y;
return r;
}
把这个实现和Gcd的递归实现相比，发现多了下面的x,y赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。
可以这样思考:
对于a' = b, b' = a % b 而言，我们求得 x, y使得 a'x + b'y = Gcd(a', b')
由于b' = a % b = a - a / b * b (注：这里的/是程序设计语言中的除法)
那么可以得到:
a'x + b'y = Gcd(a', b') ===>
bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b)
===>
ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)
因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和(x-a/b*y)
对于解方程主要部分说明:
1.首先给出两个定理(证明请查看相关数论书):
A. 方程 ax = b (mod n) 有解, 当且仅当 gcd(a, n) | b;
B. 方程 ax = b (mod n) 有d个不同的解, 其中 d = gcd(a, n);
2.证明方程有一解是: x0 = x'(b/d) mod n;
由 a*x0 = a*x'(b/d) (mod n)
a*x0 = d (b/d) (mod n) (由于 ax' = d (mod n))
= b (mod n)
证明方程有d个解: xi = x0 + i*(n/d) (mod n);
由 a*xi (mod n) = a * (x0 + i*(n/d)) (mod n)
= (a*x0+a*i*(n/d)) (mod n)
= a * x0 (mod n) (由于 d | a)
= b
求解模线性方程
语法：result＝modular_equation(int a,int b,int n);
参数： a、b、n： ax=b (mod n) 的对应参数
返回值：方程的解
源程序：
{
int t,d;
if (b==0) {x=1;y=0;return a;}
d=ext_euclid(b,a %b,x,y);
t=x;
x=y;
y=t-a/b*y;
return d;
}
void modular_equation(int a,int b,int n)
{
int e,i,d;
int x,y;
d=ext_euclid(a,n,x,y);
if (b%d>0)
printf("No answer!\n");
else
{
e=((x*(b/d))%n+n)%n;
for (i=0;i<d;i++)
printf("The %dth answer is : %ld\n",i+1,(e+i*(n/d))%n);
}
}
这样我们就可以求出方程的所有解了，但实际问题中，我们往往被要求去求最小整数解，所以我们就可以将一个特解x，t=b/（a，b），x=(x%t+t）%t；就可以了。
求解模线性方程组(中国余数定理)
语法：result=Modular_Expoent(int a,int b,int n);
参数: B[]、W[]： a=B[] (mod W[]) 的对应参数
返回值：a 的值
注意：其中W[],B[]已知，W[i]>0且W[i]与W[j]互质, 求a
源程序：
{
int t,d;
if (b==0) {x=1;y=0;return a;}
d=ext_euclid(b,a %b,x,y);
t=x;
x=y;
y=t-a/b*y;
return d;
}
int China(int B[],int W[],int k)
{
int i;
int d,x,y,a=0,m,n=1;
for (i=0;i<k;i++)
n*=W[i];
for (i=0;i<k;i++)
{
m=n/W[i];
d=ext_euclid(W[i],m,x,y);
a=(a+y*m*B[i])%n;
}
if (a>0) return a;
else return(a+n);
}
2. Stein算法
欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法，他无论从理论还是从效率上都是很好的。但是他有一个致命的缺陷，这个缺陷只有在大素数时才会显现出来。
考虑现在的硬件平台，一般整数最多也就是64位，对于这样的整数，计算两个数之间的模是很简单的。对于字长为32位 的平台，计算两个不超过32位的整数的模，只需要一个指令周期，而计算64位以下的整数模，也不过几个周期而已。但是对于更大的素数，这样的计算过程就不 得不由用户来设计，为了计算两个超过64位的整数的模，用户也许不得不采用类似于多位数除法手算过程中的试商法，这个过程不但复杂，而且消耗了很多CPU 时间。对于现代密码算法，要求计算128位以上的素数的情况比比皆是，设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。 （注：说到抛弃除法和取模，其实辗转相除法可以写成减法的形式)
Stein算法由J. Stein 1961年提出，这个方法也是计算两个数的最大公约数。和欧几里德算法 算法不同的是，Stein算法只有整数的移位和加减法，这对于程序设计者是一个福音。
为了说明Stein算法的正确性，首先必须注意到以下结论：
gcd(a,a) = a，也就是一个数和他自身的公约数是其自身
gcd(ka,kb) = k
gcd(a,b)，也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换，特殊的，当k=2时，说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除。
有了上述规律就可以给出Stein算法如下：
如果A=0，B是最大公约数，算法结束
如果B=0，A是最大公约数，算法结束
设置A1 = A、B1=B和C1 = 1
如果An和Bn都是偶数，则An+1 =An /2，Bn+1 =Bn /2，Cn+1 =Cn
*2(注意，乘2只要把整数左移一位即可，除2只要把整数右移一位即可)
如果An是偶数，Bn不是偶数，则An+1 =An /2，Bn+1 =Bn ，Cn+1 =Cn
(很显然啦，2不是奇数的约数)
如果Bn是偶数，An不是偶数，则Bn+1 =Bn /2，An+1 =An ，Cn+1 =Cn
(很显然啦，2不是奇数的约数)
如果An和Bn都不是偶数，则An+1 =|An -Bn|，Bn+1 =min(An,Bn)，Cn+1 =Cn
n++，转4
这个算法的原理很显然，所以就不再证明了。现在考察一下该算法和欧几里德方法效率上的差别。
给出一个C++的实现:
{
if(a<b)
return gcd(b,a);
if(a == 0) return b;
if(b == 0) return a;
if(a % 2 == 0 && b % 2 == 0) return 2 * gcd(a >> 1, b >> 1);
else if(a % 2 == 0) return gcd(a >> 1, b);
else if(b % 2 == 0) return gcd(a, b >> 1);
else return gcd((a+b)/2,(a-b)/2);;
}
考虑欧几里德算法，最恶劣的情况是，每次迭代a = 2b -1,这样，迭代后，r=
b-1。如果a小于2N，这样大约需要 4N次迭代。而考虑Stein算法，每次迭代后，显然AN+1BN+1≤
ANBN/2，最大迭代次数也不超过4N次。也就是说，迭代次数几乎是相等的。但是，需要注意的是，对于大素数，试商法将使每次迭代都更复杂，因此对于大素数Stein将更有优势
模取幂
1.x的二进制长度
语法：result=BitLength(int x);
参数：x：测长的x
返回值：x的二进制长度
源程序：
{
int d = 0;
while (x > 0) {
x >>= 1;
d++;
}
return d;
}
2.返回x的二进制表示中从低到高的第i位
语法：result=BitAt(int x, int i);
参数： x：十进制 x
i：要求二进制的第i位
返回值：返回x的二进制表示中从低到高的第i位
注意：最低位为第一位
源程序：
{
return ( x & (1 << (i-1)) );
}
3.模取幂运算
语法：result=Modular_Expoent(int a,int b,int n);
参数： a、b、n： a^b mod n 的对应参数
返回值： a^b mod n 的值
注意：需要BitLength和BitAt
源程序：
//a^b mod n, O(logb)
int modular_exponent(int a,int b,int n)
{ //a^b mod n
int ret=1;
for (;b;b>>=1,a=(int)((i64)a)*a%n)
if (b&1)
ret=(int)((i64)ret)*a%n;
return ret;
}
素数
.判断一个数是否素数
语法：result=comp(int n);
参数：n： 判断n是否素数
返回值： 素数返回1，否则返回0
源程序：
{
int i,flag=1;
for (i=2;i<=sqrt(n);i++)
if (n%i==0) {flag=0;break;}
if (flag==1) return 1; else return 0;
}
//miller rabin
int modular_exponent(int a,int b,int n){ //a^b mod n
int ret;
for (;b;b>>=1,a=(int)((i64)a)*a%n)
if (b&1)
ret=(int)((i64)ret)*a%n;
return ret;
}
int miller_rabin(int n,int time=10){
if (n==1||(n!=2&&!(n%2))||(n!=3&&!(n%3))||(n!=5&&!(n%5))||(n!=7&&!(n%7)))
return 0;
while (time--)
if (modular_exponent(((rand()&0x7fff<<16)+rand()&0x7fff+rand()&0x7fff)%(n-1)+1,n-1,n)!=1)
return 0;
return 1;
}
欧拉函数
应用：已知n，求比n小的与n互质的总数
原理：用n把不互质的减掉就可以了，不互质是：含有相同质因子。
设n=(p1^t1)*(p2^t2)*...*(pm^tm) p1,p2...pm是质因子
根据容斥原理易写出一个公式，仔细观察发现和下面式子等价：
【连乘】((pi^(ti-1))*(pi-1))
1<=i<=m
在程序中利用欧拉函数如下性质，可以快速求出欧拉函数的值(a为N的质因素)
若(N%a==0 && (N/a)%a==0)
则有:E(N)=E(N/a)*a;
若(N%a==0 && (N/a)%a!=0)
则有:E(N)=E(N/a)*(a-1);
编程的时候建议不要用math里的pow，那个是double精度18位，当达到__int64的最高位时候末位就挂了(小数位变成随机，万一要大于5不就…T_T)！自己写的整数的pow比较保险，哪怕用高精度呢能AC就行。
源程序：
{
if(a<b)
return gcd(b,a);
if(b==0)
return a;
else
return gcd(b,a%b);
}
int lcm(int a,int b)
{
return a/gcd(a,b)*b;
}
int eular(int n)
{
int ret=1,i;
for(i=2;i*i<=n;i++)
{
if(n%i==0)
{
n/=i,ret*=i-1;
while(n%i==0)
n/=i,ret*=i;
}
}
if(n>1)
ret*=n-1;
return ret;
}
二：
一．解模方程。
类似ax=b(mod l)的方程叫mod方程,它相当于求ax+ly=b的整数解。解mod方程利用euclid算法，首先求出使得ax+ly=(a,l)的x,y，具体方法如下：
function gcd(a,b:int;var x,y:int):int;
var s:int;
begin
if b=0 then begin
gcd:=a;x:=1;y:=0;end
else begin
gcd:=gcd(b,a mod b,x,y);
s:=y;y:=x-a div b*y;x:=s;
end;
end;
假如（a,l）| b则有(a,l)组本质不同的解，否则无解。证明如下：
设d=(a,l)，则d|a,d|l,=>d|ax,d|ly=>d|ax+ly=b,即d|b.
设a=da’,b=db’,l=dl’,显然(a’,l’)=1。ax+ly=b=>a’x+l’y=b’=>a’x=b’(mod l’),
因为(a’,l’)=1,所以a’x(x=0..l’-1) mod l’取遍0..l’-1,而b’mod l’一定在[0,l’-1]内，所以必有x使得a’x=b’(mod l’)。设x满足a’x=1(mod l’),则，a’x*b’=1*b’(mod l’),即x’=b’x=b/d*x是一可行解。然后让v=l/d,则x’+kv(k=0..d-1)均是本质不同可行解：a(x’+kv)=ax’+akv=ax’+a’l=(a’+q)l+b=b(mod l)。如何找[m,n]内的最小解？
m<=x’+kv<=n(m-x’)/v<=k<=(n-x’)/v。然后涉及到小数取舍问题：
小于等于v的最大整数：trunc(v)-ord(frac(v)+1e-8<0)
大于等于v的最小整数：trunc(v)+ord(frac(v)-1e-8>0)
这里有一些用到此物的题目：
荒岛野人（noi2002）：假如野人I,j在有生之年能碰上，则ci+tpi=cj+tpj(mod m)=>t(pi-pj)=cj-ci(mod m),满足有解且t<=li,t<=lj。然后就是从1到10^6枚举m即可。
青蛙的烦恼（zjoi02）：设t次后相遇，则假如是同向运动，则x+mt=y+nt(mod l)=>(m-n)t=y-x(modl)，相向x+mt+(l-y)+nt=0(mod l)=>(m+n)t=y-x(mod l),相反mt-x+nt-(l-y)=0(mod l)=>(m+n)t=x-y(mod l)。
方程（sgj106）：ax+by=c=>ax=c(mod b)。
等幂数（ural1204）：可证明除0、1外有两个数。求出px=1(mod q),则px*(px-1)和（n-px）*(n-px+1)是。
二、求素数。
筛法求素数有低于o(nlogn)的算法，n是筛的范围。因为1+1/2+1/3+…1/n<=log(n+1)。
原则是避免重复，如果筛到i，则应从sqr(i)开始筛选，每次步长是i，而且可以先处理i=2的情况，以后i从3开始，步长为2。对于筛子数组，可以采取两种方法：1。用位压缩；2。分治，分成几段分别筛。解决内存问题。
有一些这样的题目：约数（学生科技网）、乾陵密室（ahoi03）。
三、数的因子分解和约数个数。
设m的标准分解式为m=p1^a1*…*pk^ak，则它的约数个数y(m)=(a1+1)*…*(ak+1);它的所有约数和w(m)= (1+p1+…+p1^a1)…(1+pk+…+pk^ak)={[p1^(a1+1)-1]/（p1-1）}*…*{[pk^(ak+1)-1] /(pk-1)}。分解m没什么太好的方法只有素数测试的方法从3开始到sqrt(m)的所有奇数测一遍，也可以用二、中提到的筛法先算出部分素数。
有这么几个题目：Antiprime numbers（poi01）、N的连续数拆分（shtsc02）、芝麻开门（ahoi02）
Antiprime numbers：可以知道凡是满足题意的数的标准分解均有a1>=a2>=a3…>=ak，依此求出所有类似数（不会很多），然后选择其中约数最多且本身最小的数。
N的连续数拆分：设n=a+…+a+k，则n=(2a+k)(k+1)/2,2a+k和k+1中必有一奇数，且2a+k>k+1,所以n的所有奇约数d数目对应所有连续拆分（d<sqrt(2n),d=k+1,else d=k+2a）。先把n的2因子除净，再分解即可。
芝麻开门：利用上述约数和公式。
四、高斯消元解方程。
可以参看何江舟的论文，它的一个简化版是解异或方程组。
五、涉及数论的东西。
欧拉函数u(m):表示不超过m且与m互素的正整数的个数。
性质：1。if m>2 then u(m) is even.
2．设m=p1^a1*p2^a2*……*pk^ak是m的标准分解，则
u(m)=m(1-1/p1)*……*(1-1/pk)。把式子展开就是一个容斥原理的表达式。
特例(m,n)=1=>u(nm)=u(n)u(m)。
3．sigma{u(d),d|m}=m,可用对应证明。这里给出一种数学归纳法的证明。
证明：m=p1^a1*p2^a2*……*pk^ak。
F[i]表示由第i个因子以前（包括i）组成的d的u(d)的和。
论证f[i]=p1^a1*……*pi^ai。
i=1,f[1]表示含有(0…a1)个p1的u(d)的和则f[1]=p1^a1-p1^(a1-1)+p1^(a1-1)+。。。+p1-1+1=p1^a1，命题得证。
假设当i=v时命题成立，即f[v]=p1^a1*…*pv^av,则当i=v+1时f[v+1]=f[v]* (p(v+1)^a(v+1)-p(v+1)^(a(v+1)-1)+p(v+1)^(a(v+1)-1)-…+p- 1)+f[v]=f[v]*p(v+1)^a(v+1)=p1^a1*…*p(v+1)^a(v+1)，i=v+1时命题成立。
综上所述，当i属于(1..k)时命题成立。所以sigma{u(d),d|m}=f[k]=m。证毕。
定理：欧拉定理：设(a,m)=1,则a^u(m)=1(mod m)
费马小定理：设p是素数，a mod p<>0,则a^p-1=1(mod p)
威尔逊定理：设p是素数，则(p-1)!=-1(mod p)
利用欧拉函数性质解题的有：
机器人M号（noi2002）：设军人、政客、学者的老师总数分别是t1,t2,t3,显然有 t1+t2+t3=sigma{u(d),d|m}-1=m-1。t1、t2可以用递推实现，设f[i,0]表示前i个因子（不包括2）选取偶数个因子的 老师总数，f[I,1]表示选奇数个。则有
f[I,0]=f[i-1,0]+f[i-1,1]*(pi-1),f[1,0]=1
f[I,1]=f[i-1,1]+f[i-1,0]*(pi-1),f[1,1]=p1。
t3=m-t1-t2-1。求m=p1^a1*…*pk^ak用二分求乘幂的方法，复杂度为o(k){常数log1000000=20}
跳蚤（hnoi02）：规定左为正方向，则假如存在a,b满足(a,b)=1,则一定有ax+by=1，否则由于（a,b）>1，此方程无解。问题 转化为求所有的n+1个数的公约数为1的卡片个数。不妨换个想法，求所有不合法的卡片，再用m^n减去即可。那么不合法的一定有 (a1,…,an,m)=d,且d是由m的因子组成。设m=p1^a1*p2^a2*…*pk^ak，由容斥原理得不合法卡片数=（p1^a1n- p1^(a1-1)n）*…*(pk^akn-pk^(ak-1)n)。
px+qy类命题性质：
这里仅给出性质，具体证明参看袁豪论文。
不满足满足px+qy=n(x>=0,y>=0)的最大数是pq-p-q。一般情况设(q1,q2,…,qk)=1
则不满足sigma{qixi}=n,xi>=0的最大整数是q1*…*qk-sigma{qi}。
设m=pq-p-q,则对于0<=n<=m,必有n,m-n其一满足px+qy=n(x>=0,y>=0)，也可以说在[0,m]内一定有(p-1)(q-1)/2个数满足条件。
例题：牛场围栏（wintercamp2002）
牛场围栏：无解的情况有两种：1。存在长度为1的，这时可以建任意长度；2。所有长度的最大公约数大于1，则没有最大值。否则存在(p,q)=1,则最大值<=pq-p-q。我们可以取最小的长度l1，把围栏分成l1类,即mod l1=0..l1-1。求出每一类围栏的最小长度ci，意味着对于第I类凡是大于ci的都可以表示为ci+kl1,小于ci的都不可以组成。那么最大解一定是max{ci-l1}。至于如何求ci,可以利用类似dijkstra的方法。
Weaker Goldbach（poi01）：对于一个数m，可以采用分治的方法，m=m-p（p是满足p>m/2的最小素数），一直到m《=26，采用 hash处理。实际上可以先算出100000000附近的素数p，然后算p/2附近的p’……,直到17，把这些数作成hash。然后处理时只要加上判断 m-p>=10就行。由于hash里的素数之差+10《小素数，所以保证所求数一定是递减排列。
posted on 2010-11-20 00:59 superKiki 阅读(204) 评论(3) 编辑 收藏 引用 所属分类: 组合数学&&数论
评论
# 求n个数的最小公倍数（LCM） 2011-02-11 23:06 superKiki
#include<iostream>
using namespace std;
int LCM(long int a,long int b)
{
long int temp1=a;//暂存a、b的值
long int temp2=b;
while(temp2!=0)
{
long int temp=temp1%temp2;
temp1=temp2;
temp2=temp;
}
return a/temp1*b;//防止数据过大，溢出
}
int main()
{
int N,i;
long int a,b;
while(cin>>N)
{
cin>>a;
for(i=0;i<N-1;i++)
{
cin>>b;
a=LCM(a,b);
}
cout<<a<<endl;
}
return 0;
}
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# 二分求解单调函数区间内的解 2011-02-11 23:14 superKiki
hdu 2199
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
#define POW(x) ( (x) * (x) )
#define POW3(x) ( POW(x) * (x) )
#define POW4(x) ( POW(x) * POW(x) )
double y = 0;
double cal ( double n )
{
return 8.0 * POW4(n) + 7 * POW3(n) + 2 * POW(n) + 3 * n + 6 ;
}
int main ()
{
int T;
scanf ( "%d",&T );
while ( T -- )
{
scanf ( "%lf",&y );
if ( cal(0) > y || cal(100) < y
)
{
printf ( "No solution!\n" );
continue;
}
double l = 0.0, r = 100.0,res = 0.0;
while ( r - l > 1e-6 )
{
double mid = ( l + r ) / 2.0;
res = cal ( mid );
if ( res > y )
r = mid - 1e-6;
else
l = mid + 1e-6;
}
printf ( "%.4lf\n",( l + r ) / 2.0 );
}
return 0;
}
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# 费马小定理相关，伪素数判定 2011-02-11 23:41 superKiki
题目大意是这样的，输入p，a，两个数如果p是素数输出no，如果p不是素数，判断a^p%p==p是否成立，如果成立输出yes,否则输出no
miller-labin素数判定 应用
#include <iostream>
using namespace std;typedef long long L; bool IsPri(int n)
{
if(n<=3)
return true;
if(n>2 && !
(n%2))
return false;
for(int i=3;i*i<=n;i+=2)
{
if(! (n%i))
return false;
}
return true;
}L BigMod(L a,L p,L m)
{
if(a==0 || m==1)
return 0;
if(p==0)
return 1;
if(p%2)
return ((a%m)*BigMod(a,p-1,m))%m;
L tmp=BigMod(a,p/2,m);
return (tmp*tmp)%m;
}int main()
{
L p,a;
while(cin>>p>>a,p
|| a)
{
if(IsPri(p))
{
puts("no");
continue;
}
puts(BigMod(a,p,p)==a ? "yes" : "no");
}
return 0;
}
