深度优先算法以及最短路径问题
一、引例
提问：输入一个数字n，输出1~n的全排列。
首先，将全排列比作小盒子和扑克牌
将数字比作扑克牌，我们有1号，2号，3号扑克牌和1号2号3号3个盒子。每个盒子只能放置一个扑克牌，实现全排列。那我们如何往小盒子中放入扑克牌。每个小盒子都可能放1号、2号或者3号扑克牌，这都需要一一尝试，这里一个for循环就可以解决问题。
for ( i = 1; i < n; i++)
{
a[step] = i; // 将i号扑克牌放入到第step个盒子中
}
其次，需要一个数组book来标记哪些牌已经使用了
数组a是用来表示小盒子的，变量step是用来表示房钱正处在第step个小盒子面前。
a[step] = i；就是将第i号扑克牌放入到第step个盒子中。
for (i = 1; i < n; i++)
{
if (book[i] == 0)
{
a[step] = i; // 将i号扑克牌放入到第step个盒子中
book[i] = 1; // 将book[i]设为1，表示i号扑克牌已经不在手上了
}
}
之后，包装递归dfs函数
目前，已经处理完第step个小盒子。
现在需要将这个包装成一个dfs函数，应用递归处理第step+1个小盒子。
如下：
void dfs(int step) // step表示现在站在第几个盒子面前
{
for (i = 1; i <= n; i++)
{
if (book[i] == 0)
{
a[step] = i; // 将i号扑克牌放入到第step个盒子中
book[i] = 1; // 将book[i]设为1，表示i号扑克牌已经不在手上了
}
}
return;
}
还有，将此过程写成函数，处理完step + 1个盒子后，递归dfs(step+1)。
下面的book[i]=0;非常重要，作用是将刚才尝试的扑克牌收回，才能进行下一次尝试
void dfs(int step)
{
if (step == n + 1)
{
// 当step等于n+1时，表示找到了一个全排列，打印结果
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
printf("%d ", a[i]);
}
printf("\n");
return;
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
if (book[i] == 0)
{
a[step] = i; // 将第i个数放入排列中
book[i] = 1; // 标记数字i已经被使用
dfs(step + 1); // 递归进入下一步
book[i] = 0; // 回溯，将数字i标记为未使用
}
}
}
最后放一个，完整代码
#include <stdio.h>
#define MAXN 10
int a[MAXN], book[MAXN], n;
// 深度优先搜索函数，用于生成全排列
void dfs(int step)
{
if (step == n + 1)
{
// 当step等于n+1时，表示找到了一个全排列，打印结果
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
printf("%d ", a[i]);
}
printf("\n");
return;
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
if (book[i] == 0)
{
a[step] = i; // 将第i个数放入排列中
book[i] = 1; // 标记数字i已经被使用
dfs(step + 1); // 递归进入下一步
book[i] = 0; // 回溯，将数字i标记为未使用
}
}
}
int main()
{
printf("请输入n的值：");
scanf("%d", &n);
if (n <= 0 || n > MAXN)
{
printf("无效的输入。请在1和%d之间输入一个值。\n", MAXN);
return 1;
}
dfs(1); // 从第一个位置开始深度优先搜索
return 0;
}
放一个运行截图
二、总结：
下面的代码就是深度优先搜索的基本模型。
以上是一个简单的例子，核心代码不过20行，却包含深度优先搜索的基本模型。
理解深度优先搜索的关键在于解决“当下如何做”。至于“下一步如何做”则与“当下如何做”是一样的。
void dfs(int step)
{
判断边界
尝试每一种可能 for (i = 1; i <= n; i++)
{
/* code */
继续进行下一步dfs(step + 1)
}
返回
}
每一种尝试就是一种“扩展”。每次站在一个盒子面前的时候，其实都有n种扩展方法，但是并不是每种扩展都能够扩展成功。
三、练习
自己写一个使用深度优先搜索写一个1~n的数字全排列C语言代码
#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>
// 定义一个全局数组，用于存储当前排列
int result[10];
// 定义一个数组来标记数字是否已经被使用
bool used[10];
int n; // 1 到 n 的数字
// 递归生成排列
void generatePermutations(int pos) {
// 如果已经生成了一个完整的排列，打印它
if (pos == n) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
printf("%d ", result[i]);
}
printf("\n");
return;
}
// 尝试每个数字
for (int i = 1; i <= n; i++) {
// 如果数字未被使用，将其添加到排列中
if (!used[i]) {
result[pos] = i;
used[i] = true;
generatePermutations(pos + 1);
used[i] = false; // 回溯，将数字标记为未使用
}
}
}
int main() {
printf("请输入一个1~9的数字: ");
scanf("%d", &n);
if (n >= 1 && n <= 9) {
for (int i = 1; i <= n; i++) {
used[i] = false; // 初始化used数组
}
generatePermutations(0);
} else {
printf("请输入1~9的数字\n");
}
return 0;
}
四、最短路径问题
这个简单的图，要求使用深度优先算法求出（1,1）到终点的最短路径。
1、分析
就目前看来，(1,1)->(1,2)->(2,2)->(2,3)->(2,4)->(3,4)->(4,4)->(4,3)和(1,1)->(2,1)->(3,1)->(4,1)->(5,1)->(5,2)->(5,3)->(4,3)这两条路径是相同的长度的最短路劲。但是，这是我们的肉眼看到的，如果是计算机计算，他需要计算每个步骤的方向，每个方向的尝试，直到无路可走或者到达终点。
2、尝试
尝试用深度优先搜索来实现这个方法。先来看dfs函数如何写。
上面讲到dfs()函数的功能是解决当前应该怎么办。假设初始点到达每个位置，需要处理的是：先检查“点”是否到达终点，如果没有达到则找出下一步可以走的地方。为了解决这个问题，此处dfs()函数只需要维护3个参数，分别是当前这个点的x坐标、y坐标以及当前已经走过的步数step。
此时dfs()函数定义如下。
void dfs(int x, int y, int step)
{
return;
}
判断是否到达终点，只需要判断此时的点和终点是否相等就行。
void dfs(int x, int y, int step)
{
// 判断是否到达终点
if (x == p && y == q)
{
// 更新最小值
if (step < min)
min = step;
return; // 请注意这里的返回很重要
}
return;
}
如果没有到达，就找到下一步可以走的地方。因为有四个方向可以总，这里按照顺时针的方向来尝试(即按照右、下、左、上的顺序)。定义一个next方向数组。
int next[4][2] = {
{0, 1}, // 向右走
{1, 0}, // 向下走
{0, -1}, // 向左走
{-1, 0} // 向上走
};
通过这个方向数组，使用循环获得下一步的坐标。横坐标用tx，纵坐标用ty。
for (k = 0; k <= 3; k++)
{
// 计算的下一个点的坐标
tx = x + next[k][0];
ty = y + next[k][1];
}
接下来我们需要判断下一个点（tx,ty），是否越界，是否为障碍物，以及这个点是否已在路径中。需要用book[tx][ty]来记录格子(tx,ty)是否已经在路径中。
如果这个点符号所有要求，就进行下一次扩展，即dfs(tx,ty,step+1)，注意这里是step+1，每个点的向下尝试，意味着你的步数已经增加 1 。
代码实现如下：
for (k = 0; k <= 3; k++)
{
// 计算的下一个点的坐标
tx = x + next[k][0];
ty = y + next[k][1];
// 判断是否越界
if (tx < 1 || tx > n || ty < 1 || ty > m)
continue;
// 判断该点是否为障碍物或者已经在路径中
if (a[tx][ty] == 0 && book[tx][ty] == 0)
{
book[tx][ty] = 1; // 标记这个点已经走过
dfs(tx, ty, step + 1); // 开始尝试下一个点
book[tx][ty] = 0; // 尝试结束，取消这个点的标记
}
}
分析完毕，代码实现：
#include <stdio.h>
int n, m, p, q, min = 99999999;
int a[51][51], book[51][51];
void dfs(int x, int y, int step)
{
int next[4][2] = {
{0, 1}, // 向右走
{1, 0}, // 向下走
{0, -1}, // 向左走
{-1, 0} // 向上走
};
int tx, ty, k;
// 判断点的位置
// 判断是否到达终点
if (x == p && y == q)
{
// 更新最小值
if (step < min)
min = step;
return; // 请注意这里的返回很重要
}
for (k = 0; k <= 3; k++)
{
// 计算的下一个点的坐标
tx = x + next[k][0];
ty = y + next[k][1];
// 判断是否越界
if (tx < 1 || tx > n || ty < 1 || ty > m)
continue;
// 判断该点是否为障碍物或者已经在路径中
if (a[tx][ty] == 0 && book[tx][ty] == 0)
{
book[tx][ty] = 1; // 标记这个点已经走过
dfs(tx, ty, step + 1); // 开始尝试下一个点
book[tx][ty] = 0; // 尝试结束，取消这个点的标记
}
}
return;
}
int main()
{
int i, j, startx, starty;
// 读入n和m，n为行，m为列
scanf("%d %d", &n, &m);
// 读入迷宫
for (i = 1; i <= n; i++)
for (j = 1; j <= m; j++)
scanf("%d",&a[i][j]);
// 读入起点和终点坐标
scanf("%d %d %d %d", &startx, &starty, &p, &q);
// 从起点开始搜索
book[startx][starty] = 1; // 标记点已经在路径中，防止后面重复走
// 第一个参数是起点的x的坐标，第二个参数是起点的y坐标，第三个参数是初始步数0
dfs(startx, starty, 0);
// 输出最短步数
printf("%d", min);
getchar();
getchar();
return 0;
}
可以输入以下数据验证。
运行结果
