深度优先算法以及最短路径问题

一、引例

提问：输入一个数字n，输出1~n的全排列。

首先，将全排列比作小盒子和扑克牌

将数字比作扑克牌，我们有1号，2号，3号扑克牌和1号2号3号3个盒子。每个盒子只能放置一个扑克牌，实现全排列。那我们如何往小盒子中放入扑克牌。每个小盒子都可能放1号、2号或者3号扑克牌，这都需要一一尝试，这里一个for循环就可以解决问题。

for ( i = 1; i < n; i++)
{
    a[step] = i; // 将i号扑克牌放入到第step个盒子中
}

其次，需要一个数组book来标记哪些牌已经使用了

数组a是用来表示小盒子的，变量step是用来表示房钱正处在第step个小盒子面前。
a[step] = i；就是将第i号扑克牌放入到第step个盒子中。

for (i = 1; i < n; i++)
{
    if (book[i] == 0)
    {

        a[step] = i; // 将i号扑克牌放入到第step个盒子中
        book[i] = 1; // 将book[i]设为1，表示i号扑克牌已经不在手上了
    }
}

之后，包装递归dfs函数

目前，已经处理完第step个小盒子。
现在需要将这个包装成一个dfs函数，应用递归处理第step+1个小盒子。
如下：

void dfs(int step) // step表示现在站在第几个盒子面前
{
    for (i = 1; i <= n; i++)
    {
        if (book[i] == 0)
        {

            a[step] = i; // 将i号扑克牌放入到第step个盒子中
            book[i] = 1; // 将book[i]设为1，表示i号扑克牌已经不在手上了
        }
    }
    return;
}

还有，将此过程写成函数，处理完step + 1个盒子后，递归dfs(step+1)。

下面的book[i]=0;非常重要，作用是将刚才尝试的扑克牌收回，才能进行下一次尝试

void dfs(int step)
{
    if (step == n + 1)
    {
        // 当step等于n+1时，表示找到了一个全排列，打印结果
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            printf("%d ", a[i]);
        }
        printf("\n");
        return;
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if (book[i] == 0)
        {
            a[step] = i;   // 将第i个数放入排列中
            book[i] = 1;   // 标记数字i已经被使用
            dfs(step + 1); // 递归进入下一步
            book[i] = 0;   // 回溯，将数字i标记为未使用
        }
    }
}

最后放一个，完整代码

#include <stdio.h>

#define MAXN 10

int a[MAXN], book[MAXN], n;

// 深度优先搜索函数，用于生成全排列
void dfs(int step)
{
    if (step == n + 1)
    {
        // 当step等于n+1时，表示找到了一个全排列，打印结果
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            printf("%d ", a[i]);
        }
        printf("\n");
        return;
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if (book[i] == 0)
        {
            a[step] = i;   // 将第i个数放入排列中
            book[i] = 1;   // 标记数字i已经被使用
            dfs(step + 1); // 递归进入下一步
            book[i] = 0;   // 回溯，将数字i标记为未使用
        }
    }
}

int main()
{
    printf("请输入n的值：");
    scanf("%d", &n);
    if (n <= 0 || n > MAXN)
    {
        printf("无效的输入。请在1和%d之间输入一个值。\n", MAXN);
        return 1;
    }
    dfs(1); // 从第一个位置开始深度优先搜索
    return 0;
}

放一个运行截图

二、总结：

下面的代码就是深度优先搜索的基本模型。

以上是一个简单的例子，核心代码不过20行，却包含深度优先搜索的基本模型。
理解深度优先搜索的关键在于解决“当下如何做”。至于“下一步如何做”则与“当下如何做”是一样的。

void dfs(int step)
{
    判断边界
    尝试每一种可能 for (i = 1; i <= n; i++)
    {
        /* code */
        继续进行下一步dfs(step + 1)
    }
    返回
}

每一种尝试就是一种“扩展”。每次站在一个盒子面前的时候，其实都有n种扩展方法，但是并不是每种扩展都能够扩展成功。

三、练习

自己写一个使用深度优先搜索写一个1~n的数字全排列C语言代码

#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>

// 定义一个全局数组，用于存储当前排列
int result[10];
// 定义一个数组来标记数字是否已经被使用
bool used[10];
int n; // 1 到 n 的数字

// 递归生成排列
void generatePermutations(int pos) {
    // 如果已经生成了一个完整的排列，打印它
    if (pos == n) {
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            printf("%d ", result[i]);
        }
        printf("\n");
        return;
    }

    // 尝试每个数字
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        // 如果数字未被使用，将其添加到排列中
        if (!used[i]) {
            result[pos] = i;
            used[i] = true;
            generatePermutations(pos + 1);
            used[i] = false; // 回溯，将数字标记为未使用
        }
    }
}

int main() {
    printf("请输入一个1~9的数字: ");
    scanf("%d", &n);

    if (n >= 1 && n <= 9) {
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            used[i] = false; // 初始化used数组
        }
        generatePermutations(0);
    } else {
        printf("请输入1~9的数字\n");
    }

    return 0;
}

四、最短路径问题

这个简单的图，要求使用深度优先算法求出（1,1）到终点的最短路径。

1、分析

就目前看来，(1,1)->(1,2)->(2,2)->(2,3)->(2,4)->(3,4)->(4,4)->(4,3)和(1,1)->(2,1)->(3,1)->(4,1)->(5,1)->(5,2)->(5,3)->(4,3)这两条路径是相同的长度的最短路劲。但是，这是我们的肉眼看到的，如果是计算机计算，他需要计算每个步骤的方向，每个方向的尝试，直到无路可走或者到达终点。

2、尝试

尝试用深度优先搜索来实现这个方法。先来看dfs函数如何写。

上面讲到dfs()函数的功能是解决当前应该怎么办。假设初始点到达每个位置，需要处理的是：先检查“点”是否到达终点，如果没有达到则找出下一步可以走的地方。为了解决这个问题，此处dfs()函数只需要维护3个参数，分别是当前这个点的x坐标、y坐标以及当前已经走过的步数step。

此时dfs()函数定义如下。

void dfs(int x, int y, int step)
{
    return;
}

判断是否到达终点，只需要判断此时的点和终点是否相等就行。

void dfs(int x, int y, int step)
{
    // 判断是否到达终点
    if (x == p && y == q)
    {
        // 更新最小值
        if (step < min)
            min = step;
        return; // 请注意这里的返回很重要
    }

    return;
}

如果没有到达，就找到下一步可以走的地方。因为有四个方向可以总，这里按照顺时针的方向来尝试(即按照右、下、左、上的顺序)。定义一个next方向数组。

int next[4][2] = {
    {0, 1},  // 向右走
    {1, 0},  // 向下走
    {0, -1}, // 向左走
    {-1, 0}  // 向上走
};

通过这个方向数组，使用循环获得下一步的坐标。横坐标用tx，纵坐标用ty。

for (k = 0; k <= 3; k++)
{
    // 计算的下一个点的坐标
    tx = x + next[k][0];
    ty = y + next[k][1];
}

接下来我们需要判断下一个点（tx,ty），是否越界，是否为障碍物，以及这个点是否已在路径中。需要用book[tx][ty]来记录格子(tx,ty)是否已经在路径中。
如果这个点符号所有要求，就进行下一次扩展，即dfs(tx,ty,step+1)，注意这里是step+1，每个点的向下尝试，意味着你的步数已经增加 1 。
代码实现如下：

for (k = 0; k <= 3; k++)
{
    // 计算的下一个点的坐标
    tx = x + next[k][0];
    ty = y + next[k][1];

    // 判断是否越界
    if (tx < 1 || tx > n || ty < 1 || ty > m)
        continue;
    // 判断该点是否为障碍物或者已经在路径中

    if (a[tx][ty] == 0 && book[tx][ty] == 0)
    {
        book[tx][ty] = 1;      // 标记这个点已经走过
        dfs(tx, ty, step + 1); // 开始尝试下一个点
        book[tx][ty] = 0;      // 尝试结束，取消这个点的标记
    }
}

分析完毕，代码实现：

#include <stdio.h>
int n, m, p, q, min = 99999999;
int a[51][51], book[51][51];
void dfs(int x, int y, int step)
{
    int next[4][2] = {
        {0, 1},  // 向右走
        {1, 0},  // 向下走
        {0, -1}, // 向左走
        {-1, 0}  // 向上走
    };
    int tx, ty, k;
    // 判断点的位置
    // 判断是否到达终点
    if (x == p && y == q)
    {
        // 更新最小值
        if (step < min)
            min = step;
        return; // 请注意这里的返回很重要
    }
    for (k = 0; k <= 3; k++)
    {
        // 计算的下一个点的坐标
        tx = x + next[k][0];
        ty = y + next[k][1];

        // 判断是否越界
        if (tx < 1 || tx > n || ty < 1 || ty > m)
            continue;
        // 判断该点是否为障碍物或者已经在路径中
        if (a[tx][ty] == 0 && book[tx][ty] == 0)
        {
            book[tx][ty] = 1;      // 标记这个点已经走过
            dfs(tx, ty, step + 1); // 开始尝试下一个点
            book[tx][ty] = 0;      // 尝试结束，取消这个点的标记
        }
    }
    return;
}
int main()
{
    int i, j, startx, starty;
    // 读入n和m，n为行，m为列
    scanf("%d %d", &n, &m);
    // 读入迷宫
    for (i = 1; i <= n; i++)
        for (j = 1; j <= m; j++)
            scanf("%d",&a[i][j]);
    // 读入起点和终点坐标
    scanf("%d %d %d %d", &startx, &starty, &p, &q);
    // 从起点开始搜索
    book[startx][starty] = 1; // 标记点已经在路径中，防止后面重复走
    // 第一个参数是起点的x的坐标，第二个参数是起点的y坐标，第三个参数是初始步数0
    dfs(startx, starty, 0);
    // 输出最短步数
    printf("%d", min);
    getchar();
    getchar();
    return 0;
}

可以输入以下数据验证。

运行结果