二叉堆 & 优先级队列

优先级队列

实现方式：只需要查找极值元，不必维护所有元素之间的全序关系，偏序即可。

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二叉堆/堆结构&性质

完全二叉树重要性质：

    对于结点总数为N的完全二叉树，结点按层顺序编号（从第1层到最后一层，每层从左到右），对于任一结点k：

    当k=1时，结点k为树的根，无父结点；当k>1时，其父结点为[k/2]；

    当2k=N时，结点k的左孩子结点为2k；

    当2k>N时，结点k无左孩子；

    当2k+1=N时，结点k的右孩子结点为2k+1；

    当2k+1>N时，结点k无右孩子；

高度为h的完全二叉树结点数[2^h,2^h+1]，完全二叉树的高是O(log N)；

完全二叉堆 / 二叉堆 / 堆的结构性：

• 逻辑上，等同于完全二叉树；
  
• 物理上，由于完全二叉树结构上的紧凑性，直接借助数组表示一颗完全二叉树，继而实现优先队列；
• 数组序列 = 完全二叉树的层次遍历序列

完全二叉堆的堆序性：

• 结点k为根结点，优先级最高；
• 结点k为非根结点，父结点的优先级不小于其孩子结点的优先级；
  

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完全二叉堆实现优先队列

完全二叉堆插入新元素：插入到底层，观察堆序性进行上滤

• 最大元：优先级最高的元素；
• Floyd算法&创建堆：
• 根据指定向量创建堆，逻辑对应完全二叉树；
• 对完全二叉树中内部结点进行下滤操作，逐层合并子二叉堆；
• 直到完全二叉树根结点下滤完成后，完成创建二叉堆；
• Floyd算法默认向量序列无序，时间复杂度O(n)；
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• 插入新元素（insert）：物理上将e作为末元素接入向量，逻辑上等同于完全二叉树底层的空缺部分拓展新结点。
  
• 上滤（percolate up）：将新元素与其新父亲反复按照堆序性要求向上调整位置，每经过一次上滤，新元素上升一层，最多上滤到根部；
  
• 由于完全二叉堆树高O(log n)，上滤操作时间复杂度为O(log n)；
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• 下滤（percolate up）：将新元素与其新孩子（较大者）反复按照堆序性要求向下调整位置，每经过一次下滤，新元素下降一层，直到满足堆序性；
  
• 由于完全二叉堆树高O(log n)，下滤操作时间复杂度为O(log n)；
  
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