关于Ynoi经典分块杂谈

静态区间逆序对，区间众数

P5046 [Ynoi2019 模拟赛] Yuno loves sqrt technology I

强制在线区间逆序对，做法是预处理，然后整块散块分开算贡献，复杂度刚好平衡，常数很大，比较卡常。

P5047 [Ynoi2019 模拟赛] Yuno loves sqrt technology II

区间逆序对离线做法，二次离线模板，常数很小也比序列分块好写。

P5048 [Ynoi2019 模拟赛] Yuno loves sqrt technology III

区间众数，特别小清新的分块，常数很小， $n=5\times {10}^5$ 2s 稳过。

当然具体用到区间逆序对，众数的时候往往并不完全是板子，需要很多细节处理。

P7882 [Ynoi2006] rsrams

题意就是求一个区间的所有子区间的绝对众数之和，如果没有绝对众数那么那个区间绝对众数就是 0。

对于判断一个数 $c$ 是否能成为一个区间的绝对众数，我们可以把所有为 $c$ 的位置赋值成 1，其他赋值成 -1，一个区间绝对众数是 $c$ 当且仅当区间和大于 0。

做个前缀和过后不难发现问题变成求区间顺序对数。

考虑对颜色出现次数根号分治。

$cnt\le B$ ，$c$ 成为绝对众数的区间是 $cn{t}^2$ 级别的，把这些区间取出来做分块的二维数点即可。

$cnt>B$ ，直接二次离线莫队是会死的，因为这相当于把原问题加强了，不难发现 $|s_i-s_{i-1}|\le 1$ ，于是用个桶普通莫队就行，但是序列长度还是 $n$ ，于是还得优化，把 $n^{\prime }$ 降到 $cnt$ 级别。

1 的个数是与 $cnt$ 相同的，考虑对每个 1 找前边，后边的第一个 -1，然后构造一个等价的新序列，不难发现新序列长度 $n^{\prime }\le 3cnt$ ，做 $n^{\prime }\sqrt{m}$ 的莫队就行了。

P7448 [Ynoi2007] rdiq

主要讲述了 nb 的二维数组 $O(\sqrt{n})$ 单点加，$O(1)$ 二维求和。

这个题直接二离套用这个就行了，做法跟博丽灵梦差不多的。

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还有个经典的莫队题就是 P5355 [Ynoi2017] 由乃的玉米田

P5355 [Ynoi2017] 由乃的玉米田

前三个用 bitset 配合莫队是简单的，但除法会出点问题，当 $x\le B$ 的时候复杂度 $O(\frac{n}{x})$ 有些吃不消。

但这些 $x$ 只有 $B$ 个，考虑单独处理。

离线对每个 $x$ 做一遍扫描线，对每个 $r$ 求最早的一个 $l$ ，满足 $l,r$ 中存在 $a,b$ 有 $\frac{b}{a}=x$ ，扫的时候拿个桶对每个 $b$ 存最晚的一个 $ax=b$ ，记录答案只需要判断 $m{i}_r\ge l$ 就行 , $mi$ 是每个 $r$ 最晚的合法的 $l$ ，单次复杂度是 $O(n+V)$ 的，做 $B$ 次完全不会超时限。

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扣掉莫队的简单题和莫队与根号分治配合的题，还有一大类题就是序列分块。

先从小的讲起。

P5356 [Ynoi2017] 由乃打扑克

区间加区间第 $k$ 大，直接做可以做到 $n\sqrt{n}\log n$ ，分散层叠最低能优化到 $n\sqrt{n\log n}$ （默认 $n,q$ 同阶）。

具体讲下直接分块的实现，首先查询是要二分，然后变成查区间小于等于 $x$ 的数的个数。

散块查是 $O(B)$ 的，整块是 $O(\frac{n}{B}\log B)$ 的，乘上二分过后发现复杂度上天了。

其实散块可以提前归并到一起，而且每次查询归并只用做一次，这是 $O(B)$ 的，然后每次二分的查询变成 $\log B+\frac{n}{B}\log B$ ，然后 $B$ 取 $\sqrt{n}\log n$ 时平衡，总复杂度变成 $n\sqrt{n}\log n$

P3712 少女与战车

这个题直接先 dfs 序把树拍扁，只要你的实现没锅，套用上边的分块就能过，但因为至于很小所以还有别的阴间做法。

谈几个大分块的经典题。

P4117 [Ynoi2018] 五彩斑斓的世界

大分块入门题，考虑 $>x$ 减去 $x$ 的性质。

记一个块最大值为 $mx$

对于一个块，假如 $mx>2x$ 那么直接暴力，打个整体减 $x$ 的 tag，然后把实际值 $<x$ 的加上 $x$，复杂度是 $O(x)$ 的，$mx$ 变化量也是 $x$

假如 $mx\le 2x$ ，我们先给整个块打个整体加 $x$ 的 tag ，然后把实际值 $>x$ 的减去 $x$，复杂度是 $O(mx-x)$ 的，$mx$ 变化量也是 $mx-x$

而一个块的 $mx$ 总变化量是 $V$ 于是复杂度 $O(\frac{Vn}{B})$ ，空间也是相同的，所以考虑离线滚块将空间降到线性。

P4119 [Ynoi2018] 未来日记

区间将 $x$ 替换成 $y$ ，区间查第 $k$ 小。

区间第 $k$ 小的查询可以用序列分块配合值域分块完成。

替换还是考虑用并查集状的东西维护，不难发现一个块颜色数（数的种类数）是不断减少的，考虑替换的时候假如这个块含 $x$ 并且含 $y$ 直接暴力重构，这个最多做 $O(B)$ 次，每次 $O(B)$ ，然后假如含 $x$ 并且不含 $y$ ，把 $x$ 用并查集替换到 $y$ 上去。

主要难度在实现。

P7710 [Ynoi2077] stdmxeypz

小弱智题，先 dfs 序拍扁树，然后根号分治模数 $a$ ，用不同的分块维护就行了，空间随便卡卡就过了，乱取块长都能过。

所以为啥能有黑？

P7446 [Ynoi2007] rfplca

弹飞绵羊的强化版。

考虑同样的方式维护，对每个块维护两个数组 $f,g$ ，分别是跳出当前块以及在块内跳。

考虑每次修改暴力重构一下，经过 $B$ 次重构过后不难发现当前块里边的数一次就能跳出当前块，于是直接维护块内加的 tag 就行了。

求 lca 的过程类似树剖，慢慢跳，不难发现出块次数是 $O(B)$ 的，所以复杂度是对的。

P4690 [Ynoi2016] 镜中的昆虫

区间覆盖区间数颜色。

Trick 题，考虑对每个数维护数组 $f_i$ 为下一个与它相等的数的位置。

不难发现 $f$ 的修改也是 $O(n+q)$ 的级别的。

不难发现查询变成 $\sum _{i=l}^r[f_i>r]$ 是个二维偏序的形式，于是用个序列分块套 $O(B)$ 修，$O(1)$ 查的值域分块。用 cdq 也可以。

为了卡空考虑离线滚块，常数很小轻松过。

P5397 [Ynoi2018] 天降之物

卡常题，全局做法是根号分治，分类讨论出现次数 $>B$ 的以及 $\le B$ 的数，然后查询。

但是此题有序列分块做法，具体是维护块内答案，以及数的出现位置，然后从左往右扫。

块内只有 $B$ 个数，所以块内答案重新编号后是 $O(B^2)$ 的。

而一次单点修也只会改变一种数与其他数的答案，不难发现只会修改 $B$ 个值。

然后就完了。势能一下发现可以支持把区间的 $x$ 修改成 $y$ ，这就是手牵手走向明天那个题，然而和牛客模拟赛撞题了（我们考CSP模拟赛竟然考了这场）

简单的东西差不多就这些了。