Gym 101606 F-Flipping Coins（概率dp）

题意
有n个硬币排成一排，开始的时候所有的硬币都是正面朝下，你必须要扔K次硬币，每次选择一个硬币，如果你采取最优策略，K次以后朝上的硬币数的最大期望是多少？

随机变量X是指朝上的硬币数，当有N枚硬币的时候，X=0，1，2，3....N

E(X)=1*p(1)+2*p(2)+....+n*p(n)。

要想求最大期望，我们在扔硬币的时候要遵循一个策略：尽量扔正面朝下的硬币

如果当前有0到n-1枚硬币正面朝上，我们可以选择正面朝下的硬币来扔，扔完以后朝上硬币数不变或者+1

如果当前有n枚硬币正面朝上，我们只能选择正面朝上的硬币来扔，扔完以后朝上的硬币数不变或者-1

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令dp[i][j]为扔i次以后j枚硬币朝上的概率

根据上面总结的规律，我们可以的到状态转移方程

当j<n的时候

dp[i+1][j]+=dp[i][j]*0.5

dp[i+1][j+1]+=dp[i][j]*0.5

当j=n的时候

dp[i+1][j+1]+=dp[i][j]*0.5

dp[i+1][j-1]+=dp[i][j]*0.5

这样递推出概率来以后遍历一遍j求期望就好了~

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#define MAX 505
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;

double dp[MAX][MAX];

int main()
{
    int n,k,i,j;
    scanf("%d%d",&n,&k);
    dp[0][0]=1;
    for(i=1;i<=k;i++){
        for(j=0;j<=n;j++){
            if(j<n){
                dp[i][j]+=dp[i-1][j]*0.5;
                dp[i][j+1]+=dp[i-1][j]*0.5;
            }
            else{
                dp[i][j]+=dp[i-1][j]*0.5;
                dp[i][j-1]+=dp[i-1][j]*0.5;
            }
        }
    }
    double ans=0;
    for(i=1;i<=n;i++){
        ans+=i*dp[k][i];
    }
    printf("%.8f\n",ans);
    return 0;
}