排列与组合的一些定理
一，加法原理与乘法原理
加法原理与乘法原理是排列与组合的基础。加法原理本质上是分类，乘法原理本质上是分步。
分类，就是把一个集合(某事物)分成互不相交的若干独立的部分。比如，概率论中的全概率公式就将事件分成”全划分“
分类思想可以简化程序的时间复杂度。比如：最短路径算法-Dijkstra算法的应用之单词转换(词梯问题)
分步，就是第一步干嘛，第二步再干嘛……比如A地到D地，第一步：先到达B地；第二步，再到达C地
二，排列
P(n,r)表示从n个数中选择r个数的一个全排列
公式：P(n,r)=P(n-1,r)+p(n-1,r-1)*r
上面公式用到了分类思想：对于某个元素而言，要么选，要么不选。如果不选它，则在剩下的n-1个元素中选r个进行全排列；如果选了它，则在剩下的n-1个元素中只需要选r-1个元素进行全排列了。但是选了的那个元素，一共有r种位置存放（因为这是排列，同一个元素放在不同的位置 属于不同的排列）故p(n-1,r-1)*r。
排列一共有三种：①线排列，就是通常的普通排列。
公式：P(n,r)=n!/(n-r)!
②圆排列，相当于排序的数围成一个圆。比如循环队列的那种实现方式。举个圆排列的例子如下：
a b c d四个字母的线排列共有4!=24种。对于其中的一种排列： a b c d ，它对应着四种等价圆排列：
1) a b c d 2) b c d a 3)c d a b 4)d a b c
因此，对于给定n个数的所有圆排列，一共有 p(n,r)/r种。 因为，一个圆排列可以产生r个线排列。
③重排列
对于线排列而言，某个元素选了之后，就不能再选了（一个元素只能选一次）
对于重排列而言，一个元素可以选多次。
集合{∞·b1，∞·b2，....，∞·bn}的一个r排列个数为：nr
即从b1，b2...bn，共n个元素中选出r个，每个元素可选任意多次，一共有种nr排列
还有一种重排列是：每个元素最多只能选K次(某个固定的次数)
{K1·b1，K2·b2，....，Kn·bn}（ 元素b1最多只能选K1次）的一个r排列个数为：(K1+K2+....+Kn)!/(K1!K2!...Kn!)
上面表示从b1，b2...bn，共n个元素中选出r个进行排列，但是 bj最多只能选Kj次，一共有(K1+K2+....+Kn)!/(K1!K2!...Kn!)次排列方式。
三，组合
C(n,r)表示从n个数中选择r个数的一个全组合。
公式：C(n, r)=[n!/(r!)(n-r)!]=P(n,r)/r!
公式：C(n,r)=C(n-1,r)+C(n-1,r-1) 这个公式用到了分类思想。对于n个元素的某个元素，要么选，要么不选。
如果选了，只需在 剩下的n-1 个元素中选 r-1个；如果不选，则在剩下的n-1个元素中选r个（因为一共要选r个啊）。
这个公式非常有用，这是杨辉三解公式：其中基准条件C(n,0)=1，C(i,i)=1
C(0,0)
C(1,0) C(1,1)
C(2,0) C(2,1) C(2,2)
C(3,0) C(3,1) C(3,2) C(3,3)
..... ..... .....
如果要求解C(n,r)，可以先求解出C(n-1,r) 和 C(n-1,r-1)；再运用公式相加即可。很明显，这是一个与Fib数列类似的递归计算。只不过求Fib(n)时，只有一个参数，而这里有二个参数而已。当然，上面的程序效率是非常低的，因为它重复计算了很多子问题。代码实现如下：
1 public class YanHuiTriangle {
2 //compute C(n,r)
3 public static long c(int n, int r){
4 if(n == 0 || r == 0)
5 return 1;//base condition
6 if(n == r)
7 return 1;//base condition
8 else
9 return c(n-1, r-1) + c(n-1, r);
10 }
11
12 //compute c(n,r)
13 public static long c_dp(int n ,int r){
14 long[][] dp = new long[n+1][r+1];
15
16 //init
17 for(int i = 0; i <= n; i++)
18 dp[i][0] = 1;//if(n==0)
19 for(int i = 0; i <= r; i++)
20 dp[0][i] = 1;//if(r==0)
21 for(int i = 0; i <= r; i++)//Assume r < n
22 dp[i][i] = 1;//if(n==r)
23
24 for(int i = 1; i <= n; i++)
25 {
26 for(int j = 1; j <= r; j++)
27 {
28 if(j < i)
29 dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-1];
30 else if(j > i)//从 i 个元素中选取出 j个元素(j>i 没有意义)
31 dp[i][j] = 0;
32 }
33 }
34 return dp[n][r];
35 }
36
37 public static void main(String[] args) {
38
39 long start_dp = System.currentTimeMillis();
40 System.out.println(c_dp(50, 10));
41 long end_dp = System.currentTimeMillis();
42 System.out.println("dp use time: " + (end_dp - start_dp) + "ms");
43
44 long start = System.currentTimeMillis();
45 System.out.println(c(50,10));
46 long end = System.currentTimeMillis();
47 System.out.println("non dp use time: " + (end - start) + "ms");
48 }
49 }
这个示例完美地证明了DP（动态规划）实现和递归实现的差距。是学习DP的一个好示例。如何将一个程序从递归改成DP？看上面的示例就会有启示了。
其次，这也是0-1背包问题分解的思路，对于某件物品，要么拿走，要么不拿走。因此，这个组合公式在DP问题的分析中经常用到。
重组合公式：从集合{∞·b1，∞·b2，....，∞·bn}中选取r个元素，（不考虑次序），一共有多少种组合？
答案是：F(n,r) = C(n+r-1, r)
四，二项式定理
（X+Y）n = C(n,0)X0 Yn + C(n,1)X1 Yn-1 +.....+ C(n,n)Xn Y0
“二项式”定理嘛，就是有两个项相加求n次幂。。。。。
二项式系数和：2^n
参考
