洛谷P1349 广义斐波那契数列（矩阵快速幂）

 P1349 广义斐波那契数列

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1349

题目描述

广义的斐波那契数列是指形如an=p*an-1+q*an-2的数列。今给定数列的两系数p和q，以及数列的最前两项a1和a2，另给出两个整数n和m，试求数列的第n项an除以m的余数。

输入输出格式

输入格式：

 

输入包含一行6个整数。依次是p,q,a1,a2,n,m，其中在p,q,a1,a2整数范围内，n和m在长整数范围内。

 

输出格式：

 

输出包含一行一个整数，即an除以m的余数。

 

输入输出样例

输入样例#1： 复制

1 1 1 1 10 7

输出样例#1： 复制

6

说明

数列第10项是55，除以7的余数为6。

 

矩阵快速幂求long long级斐波那契（变形）。

 

f[n]=a*f[n-1]+b*f[n-2], f[1]=a1,f[2]=a2, MOD=...

 

由得：

 

其他变形：

1.f(n)=a*f(n-1)+b*f(n-2)+c；（a,b,c是常数）

 

2.f(n)=c^n-f(n-1) ；（c是常数）

 

以及找循环节问题：http://blog.csdn.net/ACdreamers/article/details/25616461

 

前n项和：

1.当f[1]=1,f[2]=1,f[i]=f[i-1]+f[i-2](i>2)时，

S(n)=f(n+2)-1

2.推广：

 

 

本题AC代码:

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define MAX 10
typedef long long ll;

ll p,q,MOD;
struct mat{
    ll a[MAX][MAX];
};

mat operator *(mat x,mat y)   //重载*运算 
{
    mat ans;
    memset(ans.a,0,sizeof(ans.a));
    for(int i=1;i<=2;i++){
        for(int j=1;j<=2;j++){
            for(int k=1;k<=2;k++){
                ans.a[i][j]+=x.a[i][k]*y.a[k][j];
                ans.a[i][j]%=MOD;
            }
        }
    }
    return ans;
}
mat qsortMod(mat a,ll n)   //矩阵快速幂 
{
    mat t;
    t.a[1][1]=p;t.a[1][2]=q;  //变式的系数 
    t.a[2][1]=1;t.a[2][2]=0;
    while(n){
        if(n&1) a=t*a;   //矩阵乘法不满足交换律，t在前 
        n>>=1;
        t=t*t;
    }
    return a;
}
int main()
{
    ll a1,a2,n;
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&p,&q,&a1,&a2,&n,&MOD);
    if(n==1) printf("%lld\n",a1);
    else if(n==2) printf("%lld\n",a2);
    else{
        mat a;
        a.a[1][1]=a2;a.a[1][2]=0;
        a.a[2][1]=a1;a.a[2][2]=0;   //数列的前两项 
        a=qsortMod(a,n-2);
        printf("%lld\n",a.a[1][1]);
    }
    return 0;
}