双边滤波和引导滤波的原理

双边滤波很有名，使用广泛，简单的说就是一种同时考虑了像素空间差异与强度差异的滤波器，因此具有保持图像边缘的特性。

先看看我们熟悉的高斯滤波器

其中W是权重，i和j是像素索引，K是归一化常量。公式中可以看出，权重只和像素之间的空间距离有关系，无论图像的内容是什么，都有相同的滤波效果。

再来看看双边滤波器，它只是在原有高斯函数的基础上加了一项，如下

其中 I 是像素的强度值，所以在强度差距大的地方（边缘），权重会减小，滤波效应也就变小。总体而言，在像素强度变换不大的区域，双边滤波有类似于高斯滤波的效果，而在图像边缘等强度梯度较大的地方，可以保持梯度。

 

引导滤波

引导滤波是近三年才出现的滤波技术，知道的人还不多。它与双边滤波最大的相似之处，就是同样具有保持边缘特性。在引导滤波的定义中，用到了局部线性模型，至于该模型，可以暂时用下图简单的理解

该模型认为，某函数上一点与其邻近部分的点成线性关系，一个复杂的函数就可以用很多局部的线性函数来表示，当需要求该函数上某一点的值时，只需计算所有包含该点的线性函数的值并做平均即可。这种模型，在表示非解析函数上，非常有用。

同理，我们可以认为图像是一个二维函数，而且没法写出解析表达式，因此我们假设该函数的输出与输入在一个二维窗口内满足线性关系，如下

其中，q是输出像素的值，I是输入图像的值，i和k是像素索引，a和b是当窗口中心位于k时该线性函数的系数。其实，输入图像不一定是待滤波的图像本身，也可以是其他图像即引导图像，这也是为何称为引导滤波的原因。对上式两边取梯度，可以得到

即当输入图像I有梯度时，输出q也有类似的梯度，现在可以解释为什么引导滤波有边缘保持特性了。

下一步是求出线性函数的系数，也就是线性回归，即希望拟合函数的输出值与真实值p之间的差距最小，也就是让下式最小

这里p只能是待滤波图像，并不像I那样可以是其他图像。同时，a之前的系数（以后都写为e）用于防止求得的a过大，也是调节滤波器滤波效果的重要参数。通过最小二乘法，我们可以得到

其中，是I在窗口w_k中的平均值，是I在窗口w_k中的方差，是窗口w_k中像素的数量，是待滤波图像p在窗口w_k中的均值。

在计算每个窗口的线性系数时，我们可以发现一个像素会被多个窗口包含，也就是说，每个像素都由多个线性函数所描述。因此，如之前所说，要具体求某一点的输出值时，只需将所有包含该点的线性函数值平均即可，如下

这里，w_k是所有包含像素i的窗口，k是其中心位置。

当把引导滤波用作边缘保持滤波器时，往往有 I = p ，如果e=0，显然a=1, b=0是E(a,b)为最小值的解，从上式可以看出，这时的滤波器没有任何作用，将输入原封不动的输出。如果e>0，在像素强度变化小的区域（或单色区域），有a近似于（或等于）0，而b近似于（或等于），即做了一个加权均值滤波；而在变化大的区域，a近似于1，b近似于0，对图像的滤波效果很弱，有助于保持边缘。而e的作用就是界定什么是变化大，什么是变化小。在窗口大小不变的情况下，随着e的增大，滤波效果越明显。

在滤波效果上，引导滤波和双边滤波差不多，在一些细节上，引导滤波较好。引导滤波最大的优势在于，可以写出时间复杂度与窗口大小无关的算法（打算在之后的文章中讨论），因此在使用大窗口处理图片时，其效率更高。