最大子矩形问题

合集 - 算法(2)

1.最大子矩形问题01-02

2.莫队02-28

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悬线法

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定义

悬线：上端点为矩形上边界或障碍点且线上无障碍点的竖直线段。

平移：指一条悬线在不经过障碍点的情况下，左右移动

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推论

推论1

在一个 $N\times M$ 的矩形中最多存在 $(n-1)m$ 条悬线（除矩形第一行的点无法向上延申，每个点都有可能向上延申）

推论2

最大子矩形一定是由一条悬线通过左右平移得来的。

（实际上每个子矩形都是可以通过平移一条悬线得来的）

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算法

根据推论，如果我们可以 $O(1)$处理每条悬线，那么就有可能获得一种 $O(mn)$ 复杂度的算法。

那么考虑如何 $O(1)$ 处理每条悬线。

考虑预处理。

在预处理的过程中统计以 $(i,j)$ 为下端点的悬线最大可以移动的左端点 $l$，以及右端点 $r$，悬线的长度 $h$。在计算时取每个点的 $(r-l+1)\times h$ 的最大值。

考虑如何处递推处理。

对于点 $(i,j)$，

• $h_{i,j}$ 表示以 $(i,j)$ 为下端点的悬线长度，

• $l_{i,j}$ 表示以 $(i,j)$ 为下端点的悬线可平移达到的最小左端点，

• $r_{i,j}$ 表示以 $(i,j)$ 为下端点的悬线可平移达到的最大右端点，

显然，如果点 $(i-1,j)$ 不为障碍点，那么

• $h_{i,j}=h_{i-1,j}+1$，

• $l_{i,j}=max(l_{i-1,j},l_{i,j})$，

• $r_{i,j}=min(r_{i-1,j},r_{i,j})$，

对于 $l_{i,j}$ 以及 $r_{i,j}$ ，仅通过以上递推式才可以使其形成的矩形是合法矩形。

在预处理后，遍历矩形（即每一条悬线），求出最大值即为所求。

时间复杂度 $O(nm)$ 空间复杂度 $O(nm)$。

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实现

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long

using namespace std;

inline int read();

const int N = 1e3+5;

char a[N][N];//存储大矩形 
int h[N][N],l[N][N],r[N][N]; //每个点的 h，l，r 
ll ans;

namespace mxn
{
	int max(long long x,int y){return x>y?x:y;}
	int min(int x,int y){return x>y?y:x;}
}

int main(){
	int n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			cin>>a[i][j];
			h[i][j]=1,r[i][j]=l[i][j]=j;//输入及初始化 
		}
		
		for(int j=2;j<=m;j++) l[i][j]=(a[i][j-1]=='F'&&a[i][j]=='F')?l[i][j-1]:l[i][j];//初始化l数组 
		
		for(int j=m-1;j>0;j--) r[i][j]=(a[i][j+1]=='F'&&a[i][j]=='F')?r[i][j+1]:r[i][j];//初始化r数组 
	}

	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			h[i][j]=(i>1&&a[i-1][j]=='F'&&a[i][j]=='F')?h[i-1][j]+1:h[i][j];// 'F'表示非障碍格
			l[i][j]=(i>1&&a[i-1][j]=='F'&&a[i][j]=='F')?mxn::max(l[i-1][j],l[i][j]):l[i][j];
			r[i][j]=(i>1&&a[i-1][j]=='F'&&a[i][j]=='F')?mxn::min(r[i-1][j],r[i][j]):r[i][j];
		}
	}
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			if(i>1&&a[i][j]=='F')
				ans=mxn::max((r[i][j]-l[i][j]+1)*h[i][j],ans);//遍历每个非障碍点寻找最大值即为所求 

	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

inline int read()
{
	int x=0,f=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9')
	{
		if(c=='-') f=0;
		c=getchar();
	}
	while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+c-48,c=getchar();
	return f?x:(~(x-1));
}

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例题

题