应用数学方法解决碰撞问题——为什么弹性碰撞速度就最大，非弹性碰撞速度就最小？

笔者在做题时遇到了如下习题：

 

于是代入弹性碰撞和非弹性碰撞的公式，做出B的速度分别是4.8m/s和2.4m/s，于是碰撞过后B的速度应该在2.4-4.8m/s之间，于是答案为B

 可是为什么弹性碰撞速度就最大，而非弹性碰撞速度就最小呢？可以想象AB间有一根弹簧，弹性碰撞时，弹簧先压缩至最短，再回到原长，非弹性碰撞时，弹簧压缩至最短。所以B的速度的在压缩至最短时最小，而在恢复原长时达到最大。剩下的速度只可能在弹簧最短至最长的那一部分，因此速度在二者之间。这样从物理的方法大致说明了原因，不过可以从数学的方法更加复杂得证明出这个问题。[1]

 变形后得到：

 如果把v1看作x轴，另一项看作是y轴，则动量守恒、能量守恒在此坐标系中分别是一条直线和一个圆。

 直线与圆的交点即为二者速度关系，当一个球速度为0，撞向另一个球时，直线和圆应过图中点I，故可以画出如图的空间，另一个交点E即为撞后两者速度（如果为弹性碰撞），若为完全非弹性碰撞，则二者速度相同，表现为圆与直线相切，因此应在P点

 此题中需要的条件如上（<=C2即为圆的放缩），故根据此条件可以发现解就在PE之间，故B速度最大值在E点，最小值在P点，即弹性碰撞速度就最大，而非弹性碰撞速度就最小。

 

此方法还可以用来解答一系列竞赛问题

如此题：

如图所示，在光滑的水平面上，质量为m1的小球A以速率v0向右运动。在小球前方O点处有一质量为m2的小球B处于静止状态，Q点为一竖直的墙壁，小球A与小球B发生弹性碰撞后小球A与小球B均向右运动。小球B与墙壁碰撞后原速率返回并与小球A在P点相遇，PQ=2PO，则两小球质量之比m1:m2为_______。【2021-2022重庆七校高二（上）期末物理试卷】

A与静止的B发生弹性碰撞，随后B与墙发生弹性碰撞，以原速度返回后和A再次发生碰撞。代入碰撞公式后可以得到A的速度与B的速度。

进而计算可以得到答案5:3，但是又提出问题，质量比是多少的时候可以AB撞第二次，不撞第三次呢？依然可以使用完全弹性碰撞公式得出答案1:3<m1:m2/[2+sqrt(5)]:sqrt(5)，那么什么时候产生N次碰撞呢？碰撞的次数N和质量之比是什么关系呢？可以用excel表格迭代去计算，但是无法得出定量关系，也可以用数学的方法计算出来[2]，不过用本文所给方法，几何法进行计算则更为简单。

像上面这样画出图，此图为可以碰撞4次的图。两球碰撞时动量守恒、能量守恒，故为直线与圆的交点。与墙相撞，速度反向，故关于x轴做对称即可得到新的B的速度，进而继续重复此过程，直到不能相撞（没做垂直时直接在红线上方，y轴下方则不行；或者在y轴上方，但是对称后在红线上方也不行）需要计算临界的点。

以下简单说明计算过程：红线表明的是v1=v2，与AB垂直，而因为平行线所以角∠BCD DEF FGH都相等，故所对的弧⌒BD DF FH都相等。所以只需要保证弧HI有长度即可，后面读者可自行计算。

参考文献：

[1]Kin Son Wong, Hang Wong; Understanding the Law of Conservation of Momentum in One-Dimensional Collisions Between Two Objects Using the Velocity Space Approach. The Physics Teacher 1 February 2022; 60 (2): 94–96. https://doi.org/10.1119/5.0024603

[2][1]文世达,梅军,廖秀秀等.两球弹性碰撞次数与它们质量之比的关系研究——对一道物理竞赛题的再思考[J].物理通报,2018(12):120-122.