上下界网络流 & 模板(LuoguP4553 80人环游世界)

题面

传送门
题意简化:
给定一个带权DAG,总共m个人,每个点正好要有Vi个人经过,求人的总花销最小(每个人分开计算花销)
m<=79, n<=100

Solution

是上下界网络流的模板题:
对于每个点流量的限制Vi,常规思路:拆点将点限制转为边限制
所以就成了上下界网络流跑费用流,但是此处上界下界相等

讲讲上下界网络流如何建边:

1.对于原图中一条流量限制在[l,r],连接(u,v)的边,按如下方式建边:

(S,v,l),(u,T,l),(u,v,r-l)

运用补流的思想
个人理解: 通过直接与源汇点相连,达到跳过该边前 \(l\) 流量的限制

2.若原图中有源点(S)与汇点(T):

则新增附加源汇点SS,TT;
连边(T,S,inf), 与(SS,S,inf), (T,TT,inf)
将SS,TT作为新的源汇点即可

这样处理主要是为了满足每个点流量守恒的限制

然后直接最大流即可

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define re register
#define ll long long
#define in inline
#define get getchar()
in int read()
{
    int t=0,x=1; char ch=get;
    while(ch!='-' && (ch<'0' || ch>'9')) ch=get;
    if(ch=='-') ch=get, x=-1;
    while(ch<='9' && ch>='0') t=t*10+ch-'0', ch=get;
    return t*x;
}
const int _=310;
const int inf=0x3f3f3f3f;
struct edge{
    int to,ne,w,val;
}e[_*_<<3];
int h[_], tot=1, n, S, T,TT,m,SS;
int dis[_], cur[_], vis[_];
in int bfs()
{
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    queue<int >q;
    q.push(SS); dis[SS]=0;
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front(); q.pop();
        cur[u]=h[u];vis[u]=0;
        for(re int i=h[u];i;i=e[i].ne)
        {
            int v=e[i].to;
            if(dis[v]>dis[u]+e[i].val && e[i].w)
            {
                dis[v]=dis[u]+e[i].val;
                if(!vis[v]){ vis[v]=1; q.push(v);}
            }
        }
    }
    return dis[TT]!=inf;
}
ll cost=0;
in int dfs(int u,int flow)
{
    if(u==TT || !flow) return flow;
    int used=0, d; vis[u]=1;
    for(re int i=cur[u];i;i=e[i].ne)
    {
        int v=e[i].to; cur[u]=i;
        if(!vis[v] && e[i].w && dis[v]==dis[u]+e[i].val)
        {
            d=dfs(v,min(flow-used,e[i].w));
            if(!d) continue;
            used+=d, e[i].w-=d, e[i^1].w+=d, cost+=1ll*d*e[i].val;
            if(used==flow) break;
        }
    }
    return used;
}
int maxflow;
in void dinic()
{
    int qwe;
    while(bfs())
        while(memset(vis,0,sizeof(vis)), qwe=dfs(SS,inf)){ maxflow+=qwe;}
}
int v[_],d[_];
in void add_edge(int x,int y,int w,int val) // 在新图上的边
{
    e[++tot].ne=h[x], e[tot].to=y, e[tot].w=w, e[tot].val=val, h[x]=tot;
    e[++tot].ne=h[y], e[tot].to=x, e[tot].w=0, e[tot].val=-val, h[y]=tot;
}
in void add(int x,int y,int lf,int rf,int val) //加入有上下界的原图边
{
    if(rf-lf>0) add_edge(x,y,rf==inf ? inf : rf-lf,val);
    if(lf) add_edge(x,TT,lf,0), add_edge(SS,y,lf,0);
}
int main()
{
    n=read(), m=read();
    S=n*2+1, T=S+1, SS=T+1, TT=SS+1;
    int kt=TT+1;
    for(re int i=1;i<=n;++i) {
        v[i]=read();
        add(i,i+n,v[i],v[i],0);
        add(S,i,0,m,0), add(i+n,T,0,m,0);
    }
    for(re int i=1;i<n;++i)
    {
        for(re int j=1;j+i<=n;++j)
        {
            int x=read();
            if(x==-1) continue;
            add_edge(i+n,i+j,inf,x);
        }
    }
    add_edge(T,kt,m,0);
    add_edge(kt,S,inf,0);
    dinic();
    cout<<cost<<endl;
}