SDOI征途--斜率优化

题目描述

给定长为 n 的数列 a, 要求划分成 m 段,使得方差最小, 输出方差\(*m^2\)

题解

斜率优化好题

准备部分

设第 i 段长为 \(len_i\)
先考虑方差(\(S^2\))的式子:

\[S^2 = \frac{1}{m}*\sum_{i=1}^m(len_i - (\frac{1}{m}*\sum_{j=1}^{m}len_j) )^2 \]

拆项得 -->

\[S^2 = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}len_i^2+\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\frac{1}{m^2}\sum_{j=1}^{m}len_j-2*\frac{1}{m}*\sum_{i=1}^{m}(len[i]*\frac{1}{m}\sum_{j=1}^{m}len_j) \]

-->

\[S^2 = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}len_i^2+\frac{1}{m^2}\sum_{i=1}^{m}len_i^2-2*\frac{1}{m^2}*(\sum_{i=1}^{m}len_i)*(\sum_{j=1}^{m}len_j) \]

-->

\[S^2 = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}len_i^2-\frac{1}{m^2}\sum_{i=1}^{m}len_i^2 \]

再把\(m^2\)乘进去

\[m*\sum_{i=1}^{m}len_i^2-\sum_{i=1}^{m}len_i^2 \]

可发现 \(-\sum_{i=1}^{m}len_i^2\) 这一坨是常数,也就是原序列和的平方

然后开始DP

设 f[i][k] 表示当前在第 i 个数,划分成 k 段
转移时枚举第 k 段的起点 j+1 (终点是 i ,注意这里枚举的是j+1):

\[f[i][k] =f[j][k-1]+(\sum_{l=j+1}^{i}a[l])^2 \]

再用滚动数组g(也可不用)与前缀和sum记录一下 a[l] 优化就好
也就是

\[f[i]=g[j]+(sum[i]-sum[j])^2 \]

斜率优化

把上面的DP转移方程拆开即得:

\[g[j]+sum[j]^2=-2*sum[i]*sum[j]+(sum[i]^2-f[i]) \]

把\(g[j]+sum[i]^2\) 看做 Y;
把\(sum[i]\) 看做 X;
把\(-2*sum[i]\) 看做 K;
把\((sum[i]^2-f[i])\) 看做 B;
然后用单调队列维护一下斜率递增的决策点就好

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define re register
#define in inline
#define get getchar()
#define ll long long
in int read()
{
    int t=0; char ch=get;
    while(ch<'0' || ch>'9') ch=get;
    while(ch<='9' && ch>='0') t=t*10+ch-'0', ch=get;
    return t;
}
const int _=5001;
int n,m;
ll sum[_],f[_],g[_],q[_];
#define db double
in db  calc(int a,int b)
{
    ll Y1=g[a]+sum[a]*sum[a],Y2=g[b]+sum[b]*sum[b];
    return 1.0*(Y1-Y2)/(sum[a]-sum[b]);
}
int main()
{
    n=read(),m=read();
    for(re int i=1;i<=n;i++){
        sum[i]=sum[i-1]+read();
        g[i]=sum[i]*sum[i];
    }
    for(re int k=2;k<=m;k++)
    {
        int l=1,r=0;
        q[l]=0;q[0]=0;
        for(re int i=1;i<=n;i++)
        {
            while(l<r && calc(q[l],q[l+1]) < 2*sum[i]) l++;
            int j=q[l];
            f[i]=g[j]+(sum[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j]);
            while(l<r && calc(q[r],i) < calc(q[r-1],i)) r--;
            q[++r]=i;
        }
        memcpy(g,f,sizeof(g));
    }
    cout<<m*f[n]-sum[n]*sum[n]<<endl;
}