莫比乌斯反演略解
莫比乌斯反演，又称懵逼钨丝繁衍
一、莫比乌斯函数
学莫比乌斯反演之前要学一下莫比乌斯函数
设正整数N珂以分解质因数成\(N=p_1^{c_1}p_2^{c_2}…p_m^{c_m}\)
定义莫比乌斯函数，记做\(\mu(N)\)
\[ \mu(x) = \left\{
\begin{aligned}
0 \qquad \qquad \qquad \qquad \ \exists i \in [1,m] , c_i>1\\
1 \qquad m \equiv 0 (mod 2) , \forall i \in [1,m] , c_i=1 \\
-1 \qquad m \equiv 1 (mod 2) , \forall i \in [1,m] , c_i=1
\end{aligned}
\right.
\]
通俗的讲，当N包含相等的质因子时，\(\mu (N)=0\)。当N的所有质因子各不相等时，若N有偶数个质因子，\(\mu (N)=1\)，若N有奇数个质因子\(\mu (N)=-1\)
下面我们来讲讲如何求莫比乌斯函数
当只需要求一项莫比乌斯函数时，则珂以用分解质因数（试除法或pollard's Rho）
若求1~N的每一项的莫比乌斯函数，我们珂以用筛法来计算（还在上面那篇文章中）。先把所有的\(\mu\)值初始化为1.接下来，对于筛出的每一个质数p，令\(\mu (p) = -1\)，并扫描p的倍数\(x=2p,3p,…,\lfloor n/p \rfloor *p\)，检查x能否被\(p^2\)整除。若能，则令\(\mu (x) = 0\)，否则令\(\mu (x) = -\mu (x)\)
for(register int i=1;i<=n;++i)
miu[i]=1,v[i]=0;
for(register int i=2;i<=n;++i)
{
if(v[i])
continue;
miu[i]=-1;
for(register int j=i<<1;j<=n;j+=i)
{
v[j]=1;
if((j/i)%i==0)
miu[j]=0;
else
miu[j]*=-1;
}
}
2、莫比乌斯反演公式
莫比乌斯反演分为两种形式
形式1：
若函数F(x)和f(x)满足
$$F(n)=\sum_{d|n}f(d)$$
那么就有
$$f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d})$$
形式2：
若函数F(x)和f(x)满足
$$F(n)=\sum_{n|d}f(d)$$
那么就有
$$f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})F(d)$$
两条性质
我们需要运用这两条性质来证明莫比乌斯反演
性质1：
对于任何正整数n有
$$ \ \sum_{d|n}\mu(d) = \left{
\begin{aligned}
1 \qquad (n=1) \
0 \qquad (n>1)
\end{aligned}
\right.
\[
#### 证明：
##### 1.当n=1时显然成立
##### 2、在n>1时，珂以讲n分解成$n=p_1^{c_1}p_2^{c_2}…p_m^{c_m}$
##### 在n的所有因子中，$\mu$的值不为零的只有所有质因子次数为都1的因子，其中质因数个数为r个的因子有$C_m^r$个
##### 那么显然有：
##### $$\sum_{d|n}\mu(d)=C_m^0-C_m^1+C_m^2+…+(-1)^mC_m^m=\sum_{i=0}^m(-1)^iC_m^i\]
所以我们要证明\(\sum_{i=0}^m(-1)^iC_m^i\)
根据二项式定理：
$$(x+y)n=\sum_{i=0}nC_nixiy^{n-i}$$
将x=1，y=-1带入即珂以得证
性质2：
$$\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\varphi(n)}{n}$$
证明珂以直接带入反演公式
莫比乌斯反演证明
懒着写了
莫比乌斯反演的应用
讲了那么多，最后也只是记住形式
所以我们结合Luogu P3455 [POI2007]ZAP-Queries来讲一下莫比乌斯反演的应用
题目大意：求对于区间\([1,a]\)内的整数x和\([1,b]\)内的y，满足\(gcd(x,y)=d\)的数对的个数
设F(t)表示满足gcd(x,y)%t=0的数对个数，f(t)表示满足\(gcd(x,y)=t\)的数对个数，实际上答案就是f(d)
这就满足莫比乌斯反演的关系式了
显然我们珂以得知\(F(t)=(b/t)*(d/t)\)
我们根据反演的第二个公式便珂以得出
$$f(d)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})F(d)$$
还有一个叫整除分块的小技巧
大体长这样
for(register int l=1,r;l<=n;l=r+1)
{
r=n/(n/l);
ans+=(r-l+1)*(n/l);
}
就这样就过了qaq
#include <bits/stdc++.h>
#define N 50005
#define ll long long
#define getchar nc
using namespace std;
inline char nc(){
static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int read()
{
register int x=0,f=1;register char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
return x*f;
}
inline void write(register ll x)
{
if(!x)putchar('0');if(x<0)x=-x,putchar('-');
static int sta[30];register int tot=0;
while(x)sta[tot++]=x%10,x/=10;
while(tot)putchar(sta[--tot]+48);
}
inline int Min(register int x,register int y)
{
return x<y?x:y;
}
int v[N],miu[N],sum[N];
int main()
{
for(register int i=1;i<=N;++i)
miu[i]=1,v[i]=0;
for(register int i=2;i<=N;++i)
{
if(v[i])
continue;
miu[i]=-1;
for(register int j=i<<1;j<=N;j+=i)
{
v[j]=1;
if((j/i)%i==0)
miu[j]=0;
else
miu[j]*=-1;
}
}
for(register int i=1;i<=N;++i)
sum[i]=sum[i-1]+miu[i];
int t=read();
while(t--)
{
int a=read(),b=read(),d=read();
int maxround=Min(a/d,b/d);
ll ans=0;
for(register int l=1,r;l<=maxround;l=r+1)
{
r=Min((a/d)/((a/d)/l),(b/d)/((b/d)/l));
ans+=(ll)((a/d)/l)*((b/d)/l)*(sum[r]-sum[l-1]);
}
write(ans),puts("");
}
return 0;
}
