简介
线段树是一种二叉搜索树，与区间树相似，它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。
使用线段树可以快速的查找某一个节点在若干条线段中出现的次数，时间复杂度为O(logN）。
比如讲一个有4个数的线段树，是长这个样子的：
一号节点，代表着区间1~4
二号节点，代表区间1~2
三号节点，代表区间3~4
以此类推。。。。。。
很容易发现，对于n号节点来说，n×2代表着它的区间的前半段，n×2+1代表着它的区间的后半段。
线段树构造
就是用到递归：先设left=1,right=n，然后每一次递归，left、mid和mid+1、right。
inline void pushup(register int x)
{
sum[x]=sum[x<<1]+sum[x<<1|1];
}
inline void build(register int x,register int l,register int r)
{
if(l==r)
{
sum[x]=val[l];
tag[x]=0;
return;
}
int mid=l+r>>1;
build(x<<1,l,mid);
build(x<<1|1,mid+1,r);
pushup(x);
}
下文pushdown操作基于区间修改
线段树单点修改
单点修改就是每到一个节点，看这个节点代表着的区间包括不包括这个点，包括就加上。
inline void change(register int x,register int l,register int r,register int pos,register int v)
{
if(l==r)
{
sum[x]=v;
return;
}
if(tag[x])
pushdown(x,l,r);
int mid=l+r>>1;
if(pos<=mid)
change(x<<1,l,mid,pos,v);
else
change(x<<1|1,mid+1,r,pos,v);
pushup(x);
}
线段树单点查询
就是从根节点，一直搜索到目标节点，然后一路上都加上就好了。
inline ll query(register int x,register int l,register int r,register int pos)
{
if(l==r)
return sum[x];
if(tag[x])
pushdown(x,l,r);
int mid=l+r>>1;
if(pos<=mid)
return query(x<<1,l,mid,pos);
else
return query(x<<1|1,mid+1,r,pos);
}
线段树区间修改
区间修改就是，每修改到一个区间，有三种选择：
1、如果当前区间完全属于要加的区间，那么这个区间，也就是节点加上，然后return；
2、如果这个区间的right>目标区间的left，那么查询这个区间；
3、如果这个区间的left<目标区间的right，也查询这个区间;
inline void pushdown(register int x,register int l,register int r)
{
int ls=x<<1,rs=x<<1|1,mid=l+r>>1;
sum[ls]+=(mid-l+1)*tag[x];
sum[rs]+=(r-mid)*tag[x];
tag[ls]+=tag[x];
tag[rs]+=tag[x];
tag[x]=0;
}
inline void change(register int x,register int l,register int r,register int L,register int R,register int k)
{
if(L<=l&&r<=R)
{
sum[x]+=(r-l+1)*k;
tag[x]+=k;
return;
}
if(tag[x])
pushdown(x,l,r);
int mid=l+r>>1;
if(L<=mid)
change(x<<1,l,mid,L,R,k);
if(R>=mid+1)
change(x<<1|1,mid+1,r,L,R,k);
pushup(x);
}
线段树区间查询
和线段树区间修改相似，分三种情况：
1、如果这个区间被完全包括在目标区间内，那么加上这个区间的和，然后return；
2、如果这个区间的right>目标区间的left，那么查询这个区间；
3、如果这个区间的left<目标区间的right，也查询这个区间;
inline ll query(register int x,register int l,register int r,register int L,register int R)
{
if(L<=l&&r<=R)
return sum[x];
if(tag[x])
pushdown(x,l,r);
ll res=0;
int mid=l+r>>1;
if(L<=mid)
res+=query(x<<1,l,mid,L,R);
if(R>=mid+1)
res+=query(x<<1|1,mid+1,r,L,R);
return res;
}
线段树的复杂度怎么样呢？
每次操作为\(O(\log n)\)
总复杂度\(O(m \log n)\)
（n为总长度，m为查询数量）
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 100005
using namespace std;
inline ll read()
{
register ll x=0,f=1;register char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
return x*f;
}
inline void write(register ll x)
{
if(!x)putchar('0');if(x<0)x=-x,putchar('-');
static int sta[36];int tot=0;
while(x)sta[tot++]=x%10,x/=10;
while(tot)putchar(sta[--tot]+48);
}
ll val[N];
ll sum[N<<3];
ll tag[N<<3];
inline void pushup(register int x)
{
sum[x]=sum[x<<1]+sum[x<<1|1];
}
inline void build(register int x,register int l,register int r)
{
if(l==r)
{
sum[x]=val[l];
tag[x]=0;
return;
}
int mid=l+r>>1;
build(x<<1,l,mid);
build(x<<1|1,mid+1,r);
pushup(x);
}
inline void pushdown(register int x,register int l,register int r)
{
int ls=x<<1,rs=x<<1|1,mid=l+r>>1;
sum[ls]+=(mid-l+1)*tag[x];
sum[rs]+=(r-mid)*tag[x];
tag[ls]+=tag[x];
tag[rs]+=tag[x];
tag[x]=0;
}
inline void change(register int x,register int l,register int r,register int L,register int R,register int k)
{
if(L<=l&&r<=R)
{
sum[x]+=(r-l+1)*k;
tag[x]+=k;
return;
}
if(tag[x])
pushdown(x,l,r);
int mid=l+r>>1;
if(L<=mid)
change(x<<1,l,mid,L,R,k);
if(R>=mid+1)
change(x<<1|1,mid+1,r,L,R,k);
pushup(x);
}
inline ll query(register int x,register int l,register int r,register int L,register int R)
{
if(L<=l&&r<=R)
return sum[x];
if(tag[x])
pushdown(x,l,r);
ll res=0;
int mid=l+r>>1;
if(L<=mid)
res+=query(x<<1,l,mid,L,R);
if(R>=mid+1)
res+=query(x<<1|1,mid+1,r,L,R);
return res;
}
int main()
{
int n=read(),m=read();
for(register int i=1;i<=n;++i)
val[i]=read();
build(1,1,n);
while(m--)
{
int opt=read();
if(opt==1)
{
int l=read(),r=read();
ll k=read();
change(1,1,n,l,r,k);
}
else
{
int l=read(),r=read();
write(query(1,1,n,l,r));
printf("\n");
}
}
return 0;
}
