「POI2007」四进制天平 Quaternary Balance 题解

「POI2007」四进制天平 Quaternary Balance 题解

\(n\) 可以到 \(10^{1000}\) ，所以考虑数位 \(dp\)

当然这只是个直觉，具体怎么做呢？

砝码的质量都是 \(4\) 的幂，称出质量为 \(m\) 的物体，可以看成是一个 \(4\) 进制大整数的逐位确定，放左盘可理解为加法（该位为正），放右盘可理解为减法（该位为负），可以看出左右盘不可能都放。最后用的总砝码数等于各位数码的绝对值之和。

由于有负数，出现了前面放多，后面借位的可能，例子：

3  2  3  1
4  -1 0 -3

设 \(S_{l,r}\) 为 \(n(base 4)\) （n 为原数）中 \([l...r]\) 一段拼接出的数。如果 \(pos\) 这一位多放了 \(1\) ，其实多的是 \(4^{len-pos} - S_{pos+1,len}\)，那么后面为了借回来，就要用 \(4^{len-pos}\)，为了平衡回来，后面就得变成 \(4^{len-pos} - S_{pos+1,len}\) 的四进制表示，再每位取相反数了。这等价于把 \(pos + 1 ... len-1\) 位减去 \(3\) ，最后一位减去 \(4\) 。

那么借位肯定是连续的一段。提前结束一段也有可能：

3  2  3  1
4  -2 3  1

结束一段后就恢复正常了。

我们再看看多段的情况：

1 *3  1  0 *2  2 *3  2
1  4  -2 -4 2  2  4  -2

不难发现，每段都是独立的，

那么可以设计出求最小砝码数的 \(dp\) ：\(dp1_{i,j}\) 表示考虑到第 \(i\) 位，这位是否在“一段”中。算好数码转移就好了，\(O(len)\) 的。

这题求的是方案数。要求还原方案的 \(dp\) 题写过吧？其实求方案数也一样，设一个 \(dp2_{i,j}\) ，算 \(dp2\) 时，只要 \(dp1\) 从这种方式转移过来是最优的，我们就可以累加。也是 \(O(len)\) 的。

所以这题数据似乎还可以加强...