CodeForces 1491F Magnets 题解

CF1491F链接

好不容易自己做出来个 \(2700\) ...

首先我们对题目中的 \(n_1n_2 + s_1s_2 - n_1s_2 - n_2s_1\) 因式分解，得到 \(F = (n_1 - s_1)(n_2 - s_2)\)

也就是说，\(F \neq 0\) 当且仅当 \(n_1 \neq s_1\) , \(n_2 \neq s_2\) 。

然后，题目中说“至少有 \(2\) 个 \(N / S\) 的磁铁”，先考虑只有 \(2\) 个 \(N / S\) 的情况（一个子问题），我们必须得在 \(n\) 次操作内找出它们。

我们根据 \(F \neq 0\) 的条件思考，要构造出“一个磁铁在 \(L\) 集合中，另一个磁铁在 \(R\) 集合中”的情况。在排除各种千奇百怪的方法后，主要有以下 3 种：

1.对于每个 \(i\) ，询问：\(L[1,2,...,i-1], R[i+1,i+2,...,n]\)

2.对于每个 \(i\) ，询问：\(L[i], R[1,2,...,i-1,i+1,...,n]\)

3.对于每个 \(i\) ，询问：\(L[1,2,...,i-1], R[i]\)

然后推广到一般情况，1 可以扔掉，主要剩下后两种。

其实我一开始想的是 2，想了很长时间。中间还挺顺的，看似可以轻松出解，结果 \(|num_S - num_N| = 1\) 的情况实在做不了... （读者可以自己推一下试试）

然后灵光一现，想到了 3。

我们从左到右询问，第一次发现 \(F \neq 0\) ，说明当前位置肯定是第二个 \(N / S\) 的位置。然后继续向后问，可以轻松地把后面的问出来。

咦，怎么才 \(n - 1\) 次操作，题目中的限制不是 \(n + \lfloor \log n \rfloor\) 吗？是不是我错了？但我感觉很对啊！（当时想到这里，我还真的看了一下评测记录，看看大家是不是都带 \(\log\)）

结果写程序的时候才发现，第一个 \(N / S\) 的位置还没求呢！当然，解决这个问题也很简单，二分一下就好了。这样询问次数就对上了。

这样就 A 了。

code(有点丑):

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define mit map<int,int>::iterator
#define sit set<int>::iterator
#define itrm(g,x) for(mit g=x.begin();g!=x.end();g++)
#define itrs(g,x) for(sit g=x.begin();g!=x.end();g++)
#define ltype int
#define rep(i,j,k) for(ltype(i)=(j);(i)<=(k);(i)++)
#define rap(i,j,k) for(ltype(i)=(j);(i)<(k);(i)++)
#define per(i,j,k) for(ltype(i)=(j);(i)>=(k);(i)--)
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define mpr make_pair
#define pb push_back
#define fastio ios::sync_with_stdio(false)
const int inf=0x3f3f3f3f,mod=1000000007;
const double pi=3.1415926535897932,eps=1e-6;
int T,n;
vector<int> ok;
bool bad[2005];
int ask(int x,int l,int r){
    printf("? %d %d\n",1,r-l+1);
    printf("%d\n",x);
    rep(i,l,r) printf("%d ",i);
    puts("");
    fflush(stdout);
    int a;scanf("%d",&a);return a;
}
void solve()
{
    rep(i,1,n) bad[i] = 0;
    ok.clear();
    scanf("%d",&n);
    int lim = 0;
    rep(i,2,n) {
        lim = i;
        int x = ask(i,1,i-1);
        if(x) break;
    }
    ok.pb(lim);
    int l = 1, r = lim - 1;
    while(l < r) {
        int mid = (l + r) >> 1;
        if(ask(lim, 1, mid)) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    ok.pb(l);
    rep(i,lim+1,n) if(ask(lim,i,i)) ok.pb(i);
    rap(i,0,ok.size()) bad[ok[i]] = 1;
    printf("! %d ",n - ok.size());
    rep(i,1,n) if(!bad[i]) printf("%d ",i);
    puts("");fflush(stdout);
}
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T--) solve();
    return 0;
}