最大权线性基与拟阵的一些感想

拟阵（matroid）是一个二元组 \(M=(S,I)\)，其中 \(I\) 是一个定义在 \(S\) 子集上的一个集族，称之为独立集，在独立集中的子集称之为独立的

需满足性质：

遗传性：\(A\subset B,B\in I\Rightarrow A\in I\)。

扩充性（交换性）：\(\forall A,B\in I,|A|>|B|\Rightarrow \exists i\in A/B,(B\cup{i})\in I\)。

有扩充性可以直接得到独立集的最大大小是一定的。

顾名思义，matroid 这个单词好像跟线性代数有点关系。事实上用拟阵最初就是用来研究“线性无关”这一个性质的。假设有若干条向量，那么称这些向量的一个子集是独立的当且仅当它们线性无关。根据线性代数知识我们容易证明它满足上述两条性质。这里我们在 \(\mathbb F_2\) 域（也就是异或意义下）下研究“线性无关”，所谓的独立集就是我们讲的线性基。

另一个关于拟阵的应用是研究“无环”这一个性质。对于图的边集，若这个边集不形成环那么称其是独立的。类似矩阵树定理，我们发现，如果对每一条边建立一个点数维的向量，其中该边一个端点代表的维度的值是 \(-1\)，另一个值是 \(1\)，其它维度都是零。那么研究无环这个性质就相当于研究“线性无关”。

我们可以这样定义拟阵中的环：一个去掉任意一个元素都会使其独立的非独立集。这样拟阵中的环就是一种图论中的环的抽象了。线性基中，所谓的环路就是一堆异或和为 \(0\) 且没有真子集异或和为 \(0\) 的一个集合。

拟阵的一个大应用就是证明贪心问题。我们对 \(S\) 中的每一个元素赋权，那么我们想要找出权值和最大的独立集。如果该抽象结构是拟阵的话，那么我们就可以 "Kruskal" 求出最优解：按权值从大到小排序，能加就加。

算导上有证明，此处不叙。我们这里要思考的是这个结论意味这什么？

这意味着在拟阵结构中，我们得到的最优解不仅仅是和最大的，而且也是把独立集权值从大到小排序后字典序最大的。

意味着最大权线性基有一种简单的求法：直接贪心。

然而这还不够！我们要发掘线性基问题与生成树问题的相似性。

我们考虑如果生成树问题强制在线了，那我们会怎么做？假设新加入一条边 \((u,v)\)，我们会找到生成树上是否包含 \((u,v)\) 这条路径，如果有，那么就在新形成的简单环上扣掉最小的那条边。

这个事实对于线性基同理！我们同样只需要找到当前的“生成树”，也就是所谓的线性基，是否能够表出你插入的数 \(x\)，如果不行，那么就在包含 \(x\) 的环路（此处讲的是拟阵意义下的环路了！）中删去权值最小的了！

具体到实现，可以真的找出所谓的环路，也可以每次只需要比较当前插入的数与线性基中的数的权值，如果大于那么就把这个值 swap 出来继续向下插入。这样的复杂度跟普通的插入一模一样！

这样我们就实现了一个强大的动态维护最大权线性基的算法。我们可以用它来实现离线带插带删的线性基。

具体地，我们找出每个点的被删除的时间，然后按照插入时间排序依次插入，查询的时候直接忽略删除掉的元素。

这样为什么是对的呢？因为最大权线性基同时也是“最大字典序”的，所以这样保留下来的无论如何也是对后面最有用的元素！

这样复杂度甚至做到了跟只有插入同级别！

考虑最大异或和这个题，区间异或上一个值，区间覆盖，查全局 \(\text{span}(S)\) 中的最大值。

可以考虑维护这个数组的异或差分，这样不仅 \(\text{span}(S)\) 是不变的，而且题目中所给的修改都变成了单点修改和区间删除。

我们发现插入的元素总量不是很多，那么考虑直接求出删除时间然后带删线性基即可，时间复杂度 \(O(\frac{n^3}{\omega})\)。

#include <cstdio>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#pragma GCC optimize(2,3,"Ofast")
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
int read(){
	char c=getchar();int x=0;
	while(c<48||c>57) c=getchar();
	do x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
	while(c>=48&&c<=57);
	return x;
}
const int N=2003;
struct bset{
	ull b[32];
	void operator^=(const bset x){
		b[0x0]^=x.b[0x0];b[0x1]^=x.b[0x1];b[0x2]^=x.b[0x2];b[0x3]^=x.b[0x3];
		b[0x4]^=x.b[0x4];b[0x5]^=x.b[0x5];b[0x6]^=x.b[0x6];b[0x7]^=x.b[0x7];
		b[0x8]^=x.b[0x8];b[0x9]^=x.b[0x9];b[0xa]^=x.b[0xa];b[0xb]^=x.b[0xb];
		b[0xc]^=x.b[0xc];b[0xd]^=x.b[0xd];b[0xe]^=x.b[0xe];b[0xf]^=x.b[0xf];
		b[0x10]^=x.b[0x10];b[0x11]^=x.b[0x11];b[0x12]^=x.b[0x12];b[0x13]^=x.b[0x13];
		b[0x14]^=x.b[0x14];b[0x15]^=x.b[0x15];b[0x16]^=x.b[0x16];b[0x17]^=x.b[0x17];
		b[0x18]^=x.b[0x18];b[0x19]^=x.b[0x19];b[0x1a]^=x.b[0x1a];b[0x1b]^=x.b[0x1b];
		b[0x1c]^=x.b[0x1c];b[0x1d]^=x.b[0x1d];b[0x1e]^=x.b[0x1e];b[0x1f]^=x.b[0x1f];
	}
	bset operator^(const bset x)const{
		bset p=*this;
		p.b[0x0]^=x.b[0x0];p.b[0x1]^=x.b[0x1];p.b[0x2]^=x.b[0x2];p.b[0x3]^=x.b[0x3];
		p.b[0x4]^=x.b[0x4];p.b[0x5]^=x.b[0x5];p.b[0x6]^=x.b[0x6];p.b[0x7]^=x.b[0x7];
		p.b[0x8]^=x.b[0x8];p.b[0x9]^=x.b[0x9];p.b[0xa]^=x.b[0xa];p.b[0xb]^=x.b[0xb];
		p.b[0xc]^=x.b[0xc];p.b[0xd]^=x.b[0xd];p.b[0xe]^=x.b[0xe];p.b[0xf]^=x.b[0xf];
		p.b[0x10]^=x.b[0x10];p.b[0x11]^=x.b[0x11];p.b[0x12]^=x.b[0x12];p.b[0x13]^=x.b[0x13];
		p.b[0x14]^=x.b[0x14];p.b[0x15]^=x.b[0x15];p.b[0x16]^=x.b[0x16];p.b[0x17]^=x.b[0x17];
		p.b[0x18]^=x.b[0x18];p.b[0x19]^=x.b[0x19];p.b[0x1a]^=x.b[0x1a];p.b[0x1b]^=x.b[0x1b];
		p.b[0x1c]^=x.b[0x1c];p.b[0x1d]^=x.b[0x1d];p.b[0x1e]^=x.b[0x1e];p.b[0x1f]^=x.b[0x1f];
		return p;
	}
	void reset(){
		b[0x0]=b[0x1]=b[0x2]=b[0x3]=b[0x4]=b[0x5]=b[0x6]=b[0x7]=0;
		b[0x8]=b[0x9]=b[0xa]=b[0xb]=b[0xc]=b[0xd]=b[0xe]=b[0xf]=0;
		b[0x10]=b[0x11]=b[0x12]=b[0x13]=b[0x14]=b[0x15]=b[0x16]=b[0x17]=0;
		b[0x18]=b[0x19]=b[0x1a]=b[0x1b]=b[0x1c]=b[0x1d]=b[0x1e]=b[0x1f]=0;
	}
};
int op[N],l[N],r[N];bset w[N];
int n,m,q,cnt;
int id[N];
bset a[N];
int las[8000003];
void readbset(bset &x){
	char c=getchar();
	while(c<48||c>49) c=getchar();
	for(int i=0;i<m;++i){
		x.b[i>>6]|=ull(c^48)<<(i&63);
		c=getchar();
	}
}
void showbset(bset &x){
	for(int i=0;i<m;++i) putchar(int(x.b[i>>6]>>(i&63)&1)^48);
	putchar('\n');
}
bset p[N];
int val[N];
bool vis[N];
void ins(bset x,int tim){
	for(int i=0;i<m;++i){
		if(x.b[i>>6]>>(i&63)&1){
			if(vis[i]){
				if(val[i]<tim){
					swap(x,p[i]);
					swap(tim,val[i]);
				}
				x^=p[i];
			}
			else{p[i]=x;val[i]=tim;vis[i]=1;return;}
		}
	}
}
void query(int tim){
	bset res;res.reset();
	for(int i=0;i<m;++i){
		if(vis[i]&&val[i]<=tim) vis[i]=0;
		if(vis[i]){
			if((res.b[i>>6]>>(i&63)&1)||val[i]<=tim) continue;
			res^=p[i];
		}
	}
	showbset(res);
}
int main(){
	n=read();m=read();q=read();
	for(int i=1;i<=n;++i) readbset(a[id[i]=i]);
	cnt=n;
	for(int i=1;i<=q;++i){
		op[i]=read();
		if(op[i]==3) continue;
		l[i]=read();r[i]=read();readbset(w[i]);
		if(l[i]>1){las[id[l[i]-1]]=i;id[l[i]-1]=++cnt;}
		las[id[r[i]]]=i;id[r[i]]=++cnt;
		if(op[i]==2){
			for(int t=l[i];t<r[i];++t){
				las[id[t]]=i;id[t]=0;
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;++i){
		if(!las[id[i]]) las[id[i]]=q+1;
		id[i]=i;
	}
	for(int i=1;i<n;++i) ins(a[i]^a[i+1],las[i]);
	ins(a[n],las[n]);
	cnt=n;
	for(int i=1;i<=q;++i){
		if(op[i]==3) query(i);
		else{
			if(op[i]==1){
				for(int t=l[i];t<=r[i];++t) a[t]^=w[i];
			}
			if(op[i]==2){
				for(int t=l[i];t<=r[i];++t) a[t]=w[i];
			}
			if(l[i]>1) ins(a[l[i]-1]^a[l[i]],las[++cnt]);
			if(r[i]<n) ins(a[r[i]+1]^a[r[i]],las[++cnt]);
			else ins(a[n],las[++cnt]);
		}
	}
	return 0;
}