[省选复习] 最小割/二分图最大匹配有关结论

网上搜集的，怕忘了，记录一下。

摘自 $\texttt{OI-wiki}$，$\texttt{mina}$ 等各种各样乱七八遭的地方。

最小割

源点 $s$，汇点 $t$。

记对残量网络跑 $\text{tarjan}$ 得到的第 $i$ 个点所在 $\text{SCC}$ 编号为 $scc_i$

最小割方案

我们可以通过从源点 $s$ 开始 $\text{DFS}$，每次走残量大于 $0$ 的边，找到所有 $S$ 点集内的点。

最小割可行边

条件 1：满流（此时残量网络上有边 $v\to u$）。

条件 2：不存在 $u\to v$ 的路径，即 $scc_u\neq scc_v$。

运用最大流最小割定理，可以很容易推出条件 1。

对于条件 2，如果 $u,v$ 在同一个 $\text{SCC}$ 里，那一定可以通过流量调整（匀一点流量）使得 $(u,v)$ 不满流，此时就不满足条件了。

最小割必经边

条件 1：满流（同样意味 $v\to u$）。

条件 2：$scc_u=scc_s,scc_v=scc_t$。

如果一条边是必须的，那么增加这条边的容量一定会改变最大流。

残量网络的 $\text{SCC}$ 缩点后是一个 $\text{DAG}$，方向是从 $T$ 向 $S$。

当且仅当 $(u,v)$ 在 $scc_s$ 和 $scc_t$ 之间时，增加 $(u,v)$ 的流量才能增大最大流。

最小割最小边数方案

跑完一次最小割后，令所有满流边容量为 $1$，非满流边容量为 $+\infin$，再做一次最小割，此时的任意最小割方案割边都最少。

最小割任意方案和字典序最小方案

依次枚举每条边。每次选取一条满流边 $(u,v)$，用 $\text{BFS}$ 判断它是否是可行边。如果是就加入最小割。由可行边判定条件，不能存在从 $u\to v$ 的增广路径。因此要退回一些边的流量，让它们不会被选进去。具体方法是从 $u$ 向 $s$，$v$ 向 $t$ 跑 $\text{Dinic}$ 退流。

如果让字典序最小，就按编号从小到大枚举即可。题目要求的特定顺序也类似。

二分图最大匹配

记 $x$ 为左部点，$y$ 为右部点。

二分图匹配的可行边与必须边

必须边判定条件：$x\to y$ 流量为 $1$，且在残量网络上属于不同的强连通分量。
可行边判定条件：$x\to y$ 流量为 $1$，且在残量网络上属于相同的强连通分量。

由最小割必须边可行边可以推出。

二分图最大匹配可行点

$x$ 的出边/$y$ 的入边至少有一条是可行边。

二分图最大匹配必经点

非必经点：从 $s$ 出发只走 $\text{cap}=1$ 的边能到达 $x$，或者从 $t$ 出发只走 $\text{cap}=0$ 的边能到达 $y$。

必经点：不是非必经点的点。

这个过程相当于找一条增广路，走 $\text{cap}=0$ 的边相当于在反图上找增广路。