Burnside 引理及其扩展

之前学 Burnside 一直没能深入本质，这回与 QYB 学弟讨论了一下 Burnside 引理的证明，做一个记录。

前置知识：群的定义。

一、等价染色方案计数问题

对于一种染色方案组成的集合 $X$ 和一个群 $G$，定义一种关系 $x\sim y$ 为 $\exists f\in G,f(x)=y$。

自反性：由群具有单位元即证。对称性：由群存在逆元即证。传递性：由群具有封闭性即证。

所以 $x\sim y$ 是一种等价关系。我们现在就是要求在这种等价关系的划分下等价类集合 $X/G$ 的大小，记为 $|X/G|$。

二、轨道-稳定集定理

定义轨道 $O_x=\{f(x)|f\in G\}$。不难发现 $O_x$ 的实际意义就是 $x$ 所在的等价类集合。这一点结合等价关系的性质不难证明。

定义稳定集 $G_x=\{g|g\in G,g(x)=x\}$。这也就是作用在 $x$ 上不变的那些置换。

我们为了导出 Burnside 引理，可以来讨论一下 $G_x$ 的性质。

首先容易发现 $G_x$ 是 $G$ 的一个子群。如逆元性质：$g\in G_x \Rightarrow g(x)=x\Rightarrow x=g^{-1}(x)\Rightarrow g^{-1}\in G_x$。单位元和封闭性律读者不难自证。

那么我们就可以对 $G_x$ 中的元素大用消去律。

接下来一个关键引理：

$$\forall f,g\in G,f(x)=g(x)\iff f\circ g^{-1}\in G_x$$

利用一些群的性质和 $G_x$ 的定义不难证明两个方向都是成立的。

那么轨道-稳定集定理讲的是这样一个事实：

$$\forall x\in X,|O_x|=\frac{|G|}{|G_x|}$$

证明：

考虑 $G$ 中的所有置换作用在 $x$ 上形成的结果。显然不能直接拿 $|G|$ 当作等价类的个数，因为 $x$ 在经过不同的置换结果可能相同，这样会算重。

对于任意一个 $f\in G$，考虑有多少个和它算重了，那么如果 $\exists g\in G,f(x)=g(x)$，则 $f\circ g^{-1} \in G_x$。由于这是一个等价条件，所以和 $f$ 冲突的 $g$ 的个数一定是 $|G_x|-1$。

现在对于每一个 $f\in G$，恰好有 $|G_x|-1$ 个跟它算重了，相当于 $|O_x|$ 中的每个元素被重复算了 $|G_x|$ 次，因此 $|O_x|=\frac{|G|}{|G_x|}$。

初次了解这个证明时不太了解具体为什么要保证 $G_x$ 是一个子群，以及为什么为什么可以由 $f \circ g^{-1} \in G_x$ 推出冲突的个数是 $|G_x|-1$，后来了解了拉格朗日定理的证明后发现轨道-稳定集定理的证明相当于把 $G$ 做了一个陪集分解。由于 $G_x$ 是一个子群，所以 $f\circ g^{-1}\in G_x$ 是一个等价关系，考虑用 $G_x$ 对 $G$ 分解成若干个陪集，那么这些陪集大小都是 $|G_x|$，而根据 $G_x$ 的定义又可以知道恰好分解出了 $|O_x|$ 个等价类。

三、Burnside 引理

定义不动点 $X^g=\{x|x\in X,g(x)=x\}$，即在 $g$ 的作用下没有变化的 $x$。注意到这个定义与上述的"稳定集"的定义对象是不同的：一个定义在 $x$ 上，另一个定义在 $g$ 上。

Burnside 引理的结论是：

$$|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} |X^g|$$

即本质不同的等价类个数是不动点个数的平均值。

证明：考虑用算两次原理对所有满足 $x\in X,g\in G,g(x)=x$ 的元组 $(x,g)$ 计数。

我们首先枚举 $g$，答案是 $\sum_{g\in G} |X^g|$。

然后考虑枚举 $x$，答案也是 $\sum_{x\in X} |G_x|$。

这两个式子是对同一个对象计数，所以有 $\sum_{g\in G} |X^g|=\sum_{x\in X} |G_x|$。

考虑如何表示 $|X/G|$，如果我们对于一个染色方案 $x$ 定义它的权值为它所在等价类大小的倒数，那么所有染色方案的权值和自然是等价类大小的个数。

所以 $|X/G|=\sum_{x\in X} \frac{1}{|O_x|}$。

最后再结合轨道-稳定集定理，有：

$$|X/G|=\sum_{x\in X} \frac{1}{|O_x|}=\sum_{x\in X} \frac{|G_x|}{|G|}=\frac{1}{|G|}\sum_{x\in X} |G_x|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} |X^g|$$

引理得证。

四、带权的 Burnside 引理

在处理等价类染色问题时，我们可能不单单要数等价类的个数，还要计算定义在等价类上的权值函数的和。

具体地，我们定义在 $X$ 上定义一个权重函数 $w(x)$。$w(x)$ 需要满足一个限制，即 $x\sim y\Rightarrow w(x)=w(y)$。

这样我们就可以对于一个等价类 $O_x$ 定义权重函数满足 $w(O_x)=w(x)$。

仿照 Burnside 引理证明的最后一步，那么所有等价类的权值函数之和可以写成 $\sum_{x\in X} \frac{w(x)}{|O_x|}$。稍加推导有：

$$\sum_{x\in X} \frac{w(x)}{|O_x|}=\sum_{x\in X} \frac{w(x)|G_x|}{|G|}=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} \sum_{x\in X^g} w(x)$$

即所有等价类的权值之和等于不动点集合 $|X_g|$ 中所有元素权值和的平均值。

五、Pólya 定理及其带权扩展

Pólya 定理告诉我们如何使用 Burnside 引理去解决具体的计数问题。OI 中 Burnside 引理的应用几乎都是在应用 Pólya 定理。

具体地，我们要解决用 $m$ 种颜色对 $n$ 个对象着色在置换群 $G$ 的作用下有多少个本质不同的染色方案。

$$L=\frac{1}{|G|}\sum_{p\in G} m^{C(p)}$$

其中 $C(p)$ 代表 $p$ 能分解成多少个循环。

注意下这里 $G$ 的定义与 Burnside 引理中的定义稍有不同。Burnside 引理中的 $G$ 定义在染色方案上，而 Pólya 定理中的 $G$ 定义在 $n$ 个对象上。

考虑应用 Burnside 引理后，一个染色方案要成为不动点当且仅当它的所有置换环都被染上了同一种颜色。因此不动点染色方案数就是 $m^{C(p)}$。

感觉从一个 OIer 的角度来看用 Burnside 引理导出 Pólya 定理好像还挺直接的，毕竟 OI 中有关置换环的题目大家见的也多。但其实从严谨的角度来说似乎证明 Pólya 定理还需要费一些功夫。

同时应用带权 Burnside 引理可以导出带权形式的 Pólya 定理。这里的权函数是定义在了颜色上，此时只需要对于每一个置换，分解它的置换环，对每个环求出权值和，然后乘在一起作为这个置换的权值，最后把所有置换环的权值加起来。

六、生成函数形式的 Pólya 定理

一般形式的 Pólya 定理只能对染色等价类进行计数，而利用 Burnside 引理我们可以进一步刻画具体的染色方案。我们知道多项式相乘有一个组合意义，就是类似背包计算出各种颜色的总出现次数，例如 $(r+b)(2r+b)=2r^2+3br+b^2$ 代表连着出现两次红色的方案数是 $2$。因此如果将计数的结果换成生成函数，那么我们就可以得到每种颜色出现次数都给定的染色方案数。

具体来说，对于一个长度为 $k$ 的置换环，我们希望它成为一个不动点，那么就只能把它的所有位置染成同一个颜色，假设有三种颜色方案数，对应的占位算子是 $x_1,x_2,x_3$，那么使该置换环成为不动点的颜色生成函数就是 $x_1^k+x_2^k+x_3^k$。

因此我们得出了生成函数形式的 Pólya 定理：

$$L=\frac{1}{|G|}\sum_{p\in G} \prod_k (\sum_{i=1}^m x_i^k)^{c_k(p)}$$

其中 $c_k(p)$ 代表 $p$ 中有多少个大小为 $k$ 的置换环。

七、一个特殊的等价类计数问题

为什么突然重学 Burnside 呢？因为联考遇到了……

给定一个定义在颜色上的置换 $p$，对于染色方案集 $X$ 和定义在染色对象上的置换群 $G$，你需要求出在 $G$ 的作用下所有本质不同的好的染色方案的个数。对于一个染色方案 $x$ 它是好的当且仅当 $p(x)\sim x$。

考虑套用带权 Burnside 引理，定义权值函数 $w(x)=[p(x)\sim x]$（用了个艾弗森括号，可能不太严谨……）。首先验证这个函数是否满足带权 Burnside 的限制。

对于 $x\sim y$，若有 $w(x)=1$，则 $\exists g\in G, g(x)=p(x)$，还有 $\exists f\in G, f(x)=y$，那么 $p(y)=p(f(x))=f(p(x))=f(g(x))=(f\circ g)(x)$，即 $p(y)\sim x\sim y$，也就是 $w(y)=1$。

注意到上面 $p(f(x))=f(p(x))$ 是因为 $p$ 定义在颜色上，而 $f$ 定义在对象上，两者是独立的两维，可以交换。

考虑如何简化 $w(x)$ 的计算，回顾一下我们证明轨道-稳定集的最后一步，指出了如果 $y\in O_x$，则恰好有 $|G_x|$ 个 $g$ 满足 $g\in G,g(x)=y$。那么就有：

$$w(x)=[x\sim p(x)]=[\exists f\in G,f(x)=p(x)]=\frac{1}{|G_x|}\sum_{f\in G}[f(x)=p(x)]$$

这样套用带权 Burnside，答案就是：

$$\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} \sum_{x\in X^g} w(x)=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} \sum_{x\in X^g} \frac{1}{|G_x|} \sum_{f\in G} [f(x)=p(x)]=\frac{1}{|G|}\sum_{x\in X} \sum_{f\in G} [f(x)=p(x)] \frac{1}{|G_x|} \sum_{g\in G} [g(x)=x]=\frac{1}{|G|}\sum_{f\in G} \sum_{x\in X} [f(x)=p(x)]$$