Runs 小记
来一点不严谨、不详细的备忘性质的速通学习笔记。不放证明了,证明大家可以去洛谷题解区看我稍微看了一眼,然后忘了。
首先什么是 Runs?我的理解是它就是一个压缩了所有本质不同的平方串的结构。对于一个字符串 ,定义它的一个 Runs 是满足如下条件的三元组 :
-
的最小周期为 。
-
。
-
该结构不能继续向左向右扩展。即 。(这里认为边界填充了一个不在字符集中的极小值)
Runs 和平方串之间的关系:显然每个 Runs 的长度为 的倍数的子串一定是一个平方串,反过来也很容易得到任何一个平方串一定至少位于一个 Runs 中,因为一个平方串就是一个未经扩展的 Runs。
一个更强的性质是,一个平方串可以用上述方式唯一被一个 Runs 统计到。证明的大致思想大概是你考虑一个互相包含的 Runs,大的 Runs 的最小周期必须严格大于小的 Runs 的最小周期。而我们可以证明,对于一个 Runs 的所有长度至少为 的子串,其最小周期一定为 。所以一个最小周期为 的平方串(长度 ),其只会被最小周期恰好为 的 Runs 统计恰好一次。
如何求出 Runs?一个非常简单的想法是考虑在《优秀的拆分》中运用到的调和级数分块。我们枚举当前 Runs 的周期 ,然后每隔 个点扔一个关键点。接下来枚举相邻的两个关键点,钦定每一个 Runs 在它的区间中前两个关键点统计到。那么从这两个关键点往前做 匹配,往后做 匹配,如果总匹配长度 且往前做的 没有包含上一个关键点,就找到了一个不一定满足第一个条件的准 Runs。
对于一个 Runs ,其可能在 处多次统计,那么对于所有你求出来的准 Runs 中, 相同的取 最小的哪些就是真正的 Runs 了,复杂度可以用计数排序去重做到严格 。
一般来说,让你写平方串的题目,写调和级数分块已经足够解决问题了。
既然已经有了调和级数分块,我们为什么还需要 Runs 这个结构呢?一大原因是,对于刻画所有平方串组成的集合的性质的题目,我们想要更低的复杂度。
Runs 的一个关键性质是,对于一个串,至多有 种 Runs。我们可以通过一种构造 Runs 算法来说明这个性质:
我们考虑减少调和级数分块做法中,我们需要枚举的关键点对数量。对于一个 Runs,其所有长度为 的子串是同一个串的不同循环移位,我们找出其中的最小表示法 。
可以证明的一个关键性质: 不存在任何 Border。
这带来两个非常好的推论:一个是 是一个 Lyndon 串;另一个是,如果钦定 ,该最小表示法的位置是唯一的,后文的算法钦定在此最小表示法的位置处统计该 Runs。
那么这意味着,字符串以 开始的后缀 严格小于所有 的后缀 。
我们先求出每个后缀在后缀数组中的排名 ,然后对于每一个 ,找到其之后第一个在 位置 。将 作为关键点对扩展出一个 Runs。(这里为了不重复统计同一个 Runs,同样可以钦定我们统计的一定是该 Runs 中出现的第一个循环最小表示法;当然也可以事后去重)。
这样扩展出的 Runs 一定满足性质:,通过 Runs 的周期性质可以发现这个条件等价于 。
那么那种 的 Runs 该怎么统计呢?对于上述的所有讨论,我们人为逆转字符集的大小关系(包括字符串末尾填充的空字符,从极小值逆转成极大值),相当于 reverse
了一下后缀数组,然后按照刚才的方法再次找出 对关键点对扩展。
由于上述讨论,我们就证明了 Runs 的个数不超过 ,且给出了一种更加清新的 Runs 构造方法。如果使用 SA-IS + RMQ 算法实现以上过程,可以把复杂度降低到 。
最后讲一个某道互测题里用到了的性质,对于所有 Runs, 之和也是线性级别的。这是因为我们之前在统计 Runs 的时候,我们是把它贡献到前 个长度为 的串中最小的那一个串统计的。那么,实际上对于该 Runs 的每 个串,都可以把它挂到一个你求出来的关键点对上去。
#include <algorithm> #include <cassert> #include <cstdio> #include <cstring> using namespace std; int read() { char c = getchar(); int x = 0; while (c < 48 or c > 57) c = getchar(); do x = (x * 10) + (c ^ 48), c = getchar(); while (c >= 48 and c <= 57); return x; } const int N = 1000003; const int Lg = 20; int n, q; struct LCP { char s[N]; int buc[N], rk[N], sa[N], od[N], id[N], ht[Lg][N], w, p; bool eq(int x, int y) { return od[x] == od[y] && od[x + w] == od[y + w]; } void getSA(int m) { for (int i = 1; i <= n; ++i) ++buc[rk[i] = s[i]]; for (int i = 1; i <= m; ++i) buc[i] += buc[i - 1]; for (int i = n; i; --i) sa[buc[rk[i]]--] = i; for (int i = 1; i <= m; ++i) buc[i] = 0; w = 1; p = 0; while (true) { for (int i = n; i > n - w; --i) id[++p] = i; for (int i = 1; i <= n; ++i) if (sa[i] > w) id[++p] = sa[i] - w; for (int i = 1; i <= n; ++i) ++buc[od[i] = rk[i]]; for (int i = 1; i <= m; ++i) buc[i] += buc[i - 1]; for (int i = n; i; --i) sa[buc[rk[id[i]]]--] = id[i]; for (int i = 1; i <= m; ++i) buc[i] = 0; rk[sa[1]] = p = 1; for (int i = 2; i <= n; ++i) { if (!eq(sa[i], sa[i - 1])) ++p; rk[sa[i]] = p; } if (p == n) break; w <<= 1, m = p, p = 0; } } void getLCP() { s[n + 1] = '!'; for (int i = 1, k = 0; i <= n; ++i) { if (k) --k; if (rk[i] == 1) continue; while (s[i + k] == s[sa[rk[i] - 1] + k]) ++k; ht[0][rk[i]] = k; } for (int t = 1; t < Lg; ++t) for (int i = 2; i + (1 << t) - 1 <= n; ++i) ht[t][i] = min(ht[t - 1][i], ht[t - 1][i + (1 << (t - 1))]); } int qry(int x, int y) { if (x == y) return n - x + 1; x = rk[x], y = rk[y]; if (x > y) swap(x, y); int k = __lg(y - x); return min(ht[k][x + 1], ht[k][y - (1 << k) + 1]); } } A, B; char s[N]; int wl[N << 1], wr[N << 1], wp[N << 1], num; void expand(int x, int y) { if (s[x] != s[y]) return; int len = y - x; int lA = A.qry(x, y); int lB = B.qry(n - x + 1, n - y + 1); if (lB <= len and lA + lB > len) { ++num; wl[num] = x - lB + 1; wr[num] = y + lA - 1; wp[num] = len; } } int stk[N], tp; int p[N << 1], pp[N << 1], loc[N]; void sort_by(int *arr) { for (int i = 1; i <= num; ++i) ++loc[arr[i]]; for (int i = 1; i <= n; ++i) loc[i] += loc[i - 1]; for (int i = num; i; --i) pp[loc[arr[p[i]]]--] = p[i]; for (int i = 1; i <= num; ++i) p[i] = pp[i]; for (int i = 1; i <= n; ++i) loc[i] = 0; } int main() { scanf("%s", s + 1); n = strlen(s + 1); for (int i = 1; i <= n; ++i) A.s[i] = B.s[n - i + 1] = s[i]; A.getSA(123), A.getLCP(); B.getSA(123), B.getLCP(); tp = 0; for (int i = n; i; --i) { while (tp and A.rk[stk[tp]] > A.rk[i]) --tp; if (tp) expand(i, stk[tp]); stk[++tp] = i; } tp = 0; for (int i = n; i; --i) { while (tp and A.rk[stk[tp]] < A.rk[i]) --tp; if (tp) expand(i, stk[tp]); stk[++tp] = i; } for (int i = 1; i <= num; ++i) p[i] = i; sort_by(wp), sort_by(wr), sort_by(wl); printf("%d\n", num); for (int i = 1; i <= num; ++i) printf("%d %d %d\n", wl[p[i]], wr[p[i]], wp[p[i]]); return 0; }
【推荐】国内首个AI IDE,深度理解中文开发场景,立即下载体验Trae
【推荐】编程新体验,更懂你的AI,立即体验豆包MarsCode编程助手
【推荐】抖音旗下AI助手豆包,你的智能百科全书,全免费不限次数
【推荐】轻量又高性能的 SSH 工具 IShell:AI 加持,快人一步
· 分享一个免费、快速、无限量使用的满血 DeepSeek R1 模型,支持深度思考和联网搜索!
· 使用C#创建一个MCP客户端
· ollama系列1:轻松3步本地部署deepseek,普通电脑可用
· 基于 Docker 搭建 FRP 内网穿透开源项目(很简单哒)
· 按钮权限的设计及实现