拟阵学习笔记

子集系统：对于一个有限集 \(S\) 与定义在 \(S\) 上的子集族 \(L\) ，二元组 \(M=(S,L)\) 满足 \(\forall B \in L,\forall A \subseteq B\) 有 \(A \in L\) （遗传性），感性描述就是如果一个子集满足某种性质，那么这个子集所有的子集都满足该性质，满足该性质所有子集组成的集族成为子集系统

拟阵(matroid)：一个子集系统满足 \(\forall A,B\in L,|A|<|B|\) 有 \(\exists x\in B-A\) 使得 \(A\cup\{x\}\in L\) （交换性），感性理解就是有两个满足性质的集合，如果一个集合比另一个小，那么一定可以在那个更大的集合中找到元素扩充小集合，使得它仍然满足性质

下面是拟阵的一些概念：

独立集 ：上面一直在说“性质”，那么就称具有”性质“的集合（即在 \(L\) 中的集合）为独立集

基：无法继续扩大的独立集 环：无法继续缩小的非独立集

有一个交换性的直接推论，即所有的基大小相等

因为如果一个集合比另一个集合大的话，那么另一个集合总可以继续扩展（拟阵的基本性质）

秩：基的大小

一个集合为独立集，当且仅当是某个基的子集，当且仅当不包含任意一个环

观察到拟阵的定义与极大线性无关向量组的定义很类似

事实上，拟阵就是脱离了线代意义的一类代数结构，可以用来研究性质更加广泛的问题

从一个向量中的线性无关向量组满足拟阵结构

首先肯定这个问题满足遗传性，因为一个集合线性无关，它的子集也一定线性无关

证明更关键的交换性，如果一个线性无关的向量组 \(A\) 比另一个线性无关组 \(B\) 小，那么如果 \(B\) 中的向量全都与 \(A\) 中的数线性有关，也就是说用 \(A\) 可以表示出 \(B\) 中的所有元素，那么一定可以构造出很多方法使得 \(B\) 中元素互相表出

在 OI 中，拟阵有什么应用呢？

所有具有拟阵结构的问题都可以贪心解决（但复杂度各异）

背包模型：将所有的物品拆成单位体积 1，设独立集为总体积大小不超过体积限制的所有决策集合

显然满足遗传性，证明交换性：

如果 \(\exists A\in L,B\in L,|A|<|B|\) ，那么将 \(B-A\) 中的任何一个元素放入 \(A\) 中一定满足条件，满足交换性

生成树模型：图 \(G=(V,E)\) 对于 \(E\) 进行考虑，构成森林的边集为独立集

同样显然满足遗传性，对于交换性：

生成森林 \(A,B,|A|<|B|\) ，那么 \(A，B\) 分别有 \(|V|-|A|,|V|-|B|\) 个联通块，则 \(A\) 的联通块个数多于 \(B\)，那么一定有一个 \(B\) 的联通块 \(T\) 在 \(A\) 中不连通，那么 \(T\) 一定有一条边，连接了 \(A\) 中的两个联通块，连上这条边，则一定无环

事实上由于生成森林中无环，等价于其为独立集，可以直接说明，不过环的概念就是拟阵应用在生成树模型上是时提出的

拟阵上最重要的内容就是贪心求最大权值独立集

首先我们要给 \(S\) 每一个点都赋上正权 \(w\)

它具有统一的贪心策略：

Greedy(\(S\),\(L\),\(w\)){

​ \(A:=\emptyset\)

​ sort \(S\) with \(w\) increasing

​ for x \(\in\) S do:

​ if \(A\cup \{x\} \in L\):

​ then \(A:=A \cup \{x\}\)

​ return \(A\)

}

下面证明贪心策略正确

假设 \(A\) 为答案最优的某种方案 \(T\) 的子集，对于当前能够扩展 \(A\) 的权值最大的元素 \(x\) ， \(A \cup \{x\}\) 一定是某个最优集合的子集

如果不是，考虑构造包含 \(A\cup\{x\}\) 的更优的集合，由交换性可知，用 \(T\) 中的元素不断扩充 \(A\cup\{x\}\) ，形成了集合 \((T-\{y\})\cup\{x\}\) 为独立集，此时权值 \(w_{T'}=w_T-w_y+w_x>w_T\) （\(x\) 为当前可扩充 \(A\) 的权值最大元素，因此 \(w_x>w_y\)）

由于空集一定是最优解的子集，那么这样扩展下去，一定可以找出权值最大的基