线性基学习笔记
定义：对于 \([0,2^M)\) 之间的数集 \(A\) ，可以由集合 $ D$ 中的数异或得来，且\(|D|\)最小化，则称 \(D\) 是 \(A\) 的一组线性基
注意到线性基不唯一
异或的基本性质：
线性基性质：
性质一：线性基的元素不能互相表出（线性无关）
证明：如果存在 \(d_i=d_{a_1}\oplus d_{a_2} \cdots \oplus d_{a_n}\)
则如果在表出时有用到 \(d_i\) ，可将其替换为\(d_{a_1}\oplus d_{a_2} \cdots \oplus d_{a_n}\) ，与线性基最小性矛盾
性质二：线性基的元素无法表出 \(0\)
证明：\(d_{a_1}\oplus d_{a_2} \cdots \oplus d_{a_n}=0\)
等价于 \(d_{a_2} \oplus d_{a_3} \cdots \oplus d_{a_n}=d_{a_1}\)
与性质一矛盾
性质三：线性基表出元素互不相同
证明：如果有两个线性基的子集异或和 \(A = B\)，那么同上处理
\(A \oplus B = 0\)
而 \(A \oplus B\) 也一定为 \(D\) 的子集，与性质二矛盾
性质四：总是存在一组线性基，使每一个 \(d_i\) 的最高位的位置互不相同
证明：首先由 \(|D|\) 的最小性知所有的线性基大小相等
对于两个最高位在同一位的数 \(a\) ，\(b\) ，将 \(a\) 替换为 \(a \oplus b\) ，此时依然能够表出所有数，但是最高位在同一位的数不存在了
由此可知总能构造出一种满足条件的线性基
线性基求解
由性质四，可以得出一种动态构造满足性质四特殊线性基的算法：
设 \(p_i\) 表示二进制最高位为 \(i\) 的线性基元素
由性质四知道 \(p_i\) 唯一，标出了一个满足性质四的线性基
考虑添加元素 \(x\) 到 \(D\) 中，逐位考虑 \(x\) 为一的位置
首先对于全局最高位，如果 \(x\) 此位为一：
\(p_M=0\) 时，那么此时线性基无论如何异或都无法得到 \(x\) ，直接 \(p_M=x\)，完成算法退出
否则 \(i\) 只能必须由 \(p_M\) 异或其他数表出，因为已经没有其他元素最高位比 \(p_M\) 高，为了方便后续操作，将插入目标改为 \(x \oplus p_M\)
如果 \(x\) 此位为零，则此位没有影响，不考虑
注意到此时已经考虑完了最高位后，后续不会再对最高位产生影响，相当于去掉最高位的子问题，将下一位看做最高位，继续插入修改后的 \(x\)
实现：
void ins(ll x){
for (int i=63; i>=0; i--)
if ((x>>i)&1) {
if (!d[i]){d[i]=x;break;}
x^=d[i];
}
}
单次插入时间复杂度 \(O(M)\) ，共计 \(O(NM)\)
另外一种求线性基的办法是矩阵高斯消元
我们考虑每个 \(a_i\) ，将其二进制分解写成矩阵形式
可以知道，异或操作是模二意义下的加法，即模二意义下的初等行变换
高斯消元为上三角矩阵
去掉为零的行，由于异或操作可逆，可知这是原集合的线性基
此时每一行恰有一个主元，满足性质四
复杂度 \(O(NM^2)\) ，实现略
线性基应用
1.查询某个数够被 \(A\) 中的元素异或表出：
直接用第一种方式尝试插入该数，如果最终没有发生修改，那么返回 True
2.查询所有能被 \(A\) 中元素异或表出的数中第 \(k\) 大的数：
拍
同样考虑最高位，
首先处理一下原来的满足性质四的线性基，要保证除了 \(p_i\) 外其他所有线性基元素的第 \(i\) 位为零，直接将不为零的位异或上已经处理过的 \(p_j(j<i)\) 即可
对于 \(p_M\)，由于所有数异或上 \(p_M\) 一定比原本大，那么将 \(k\) 与 \(2^{M-1}\) 比较，就可以知道需不需要异或 \(p_M\)
继续按位考虑子问题即可
3.查询最大/最小异或和
仿照2进行贪心即可
