决策单调性乱记
首先四边形不等式 \(w(a,c)+w(b,d)\leq w(a,d)+w(b,c)\)。如果是最大化问题，等号可以反过来。
你可以简单把它理解为交叉优于包含。
这种不等式有一种常用的证明方法：考虑区间 \([a,c]\) 和 \([b,c]\) 的贡献和，然后再考虑从中选一个区间加入 \((c,d]\) 的贡献增量。注意前者是包含后者的，如果加入一个新的区间的贡献时，加入小的区间的贡献增量比加入大的区间的贡献增量更优，即证明四边形不等式。
举个例子：区间不同数字个数，发现 \([a,c]\) 比 \([b,c]\) 多了一些数字，所以再加入一段区间时更容易覆盖掉一些贡献，所以 \(w(a,c)+w(b,d)\leq w(a,d)+w(b,c)\)。
再比如区间虚树大小，原有的虚树大小越大，新加入一些点造成的增量越小。（跟凸性质很像，所以 DP 优化真的是相通的）。
四边形不等式如果满足区间包含单调性，即 \(w(a,d)\leq w(b,c)\) 的话，那么可以对于区间 DP \(f(l,r)=\min_{k\in [l,r]} f(l,k)+f(k+1,r)+w(l,r)\) 进行一些优化。
具体来讲大概是最优决策点 \(p(l,r-1) \leq p(l,r)\leq p(l+1,r)\) 于是优化到 \(O(n^2)\)，不会证，也不是我们讨论的重点。
我们今天遇到的 DP 大概是这样的 \(f(i)=\min_{j<i} g(j)+w(j,i)\)，\(w\) 满足四边形不等式。这样的 DP 可能进行多轮。
这个东西具有决策单调性，证明：
设决策点 \(A\leq B\leq C\leq D\)，如果 \(C\) 的最优决策点 \(p(C)=B\)，那么需要证明 \(p(D)\geq B\)。
若 \(p(D)=A\)，那么由于 \(p(C)=B\)，有 \(f(B)+w(B,C)\leq f(A)+w(A,C)\)。
应用四边形不等式 \(w(A,C)+w(B,D)\leq w(A,D)+w(B,C)\)，即 \(w(B,D)-w(B,C)\leq w(A,D)-w(A,C)\)。
与上式同向相加，有 \(f(B)+w(B,D)\leq f(A)+w(A,D)\)，即 \(B\) 比 \(A\) 更优。
这样说明决策点 \(p\) 是单调的。
于是对于这样的 DP 可以直接分治优化，solve(l,r,vl,vr) 表示 \(\forall x\in [l,r],p(x)\in [vl,vr]\)，暴力扫描区间内所有决策点求出 \(p(mid)\) 分治下去即可 \(O(n\log n)\)。
经典应用：对于一个数列，把它分成 \(k\) 段，使得 \(w(l,r)\) 之和最大/最小化。分层跑 \(k\) 遍分治即可。\(O(nk\log n)\)。
\(w(l,r)\) 分别为区间不同数字个数、相同数字对数、虚树大小、逆序对个数。直接四倍经验。
\(w(l,r)\) 比较难求时可以莫队暴力移动指针，只要不移出当前层复杂度就是对的。
但 Cmd 博客里讲了另一种 \(O(n^2+nk)\) 的方法，\(n\) 较小时跑得很快。
设 \(f_k\) 表示分成 \(k\) 段的 DP 数组，\(p_k\) 同理。
有 \(p_{k-1}(n)\leq p_k(n) \leq p_k(n+1)\)。后面的不等式就是决策单调性，前面的也可以用决策单调性证明。
具体可以看 Cmd 博客里的图，大的拱落脚点再小的拱前面。
于是按 \(k\) 从小到大，\(n\) 从大到小的顺序扫描，暴力遍历合法区间。
这样的复杂度可以考虑 \(p\) 矩形，每一次相当于遍历对角线上的区间，整条对角线的区间长度之和时 \(O(n)\) 的，共 \(O(n+k)\) 条，复杂度得证。
