CF1654F Minimal String Xoration & CF1654G Snowy Mountain 略记
个人认为是很妙的两道题，所以简单记一记
CF1654F Minimal String Xoration
模仿后缀排序，注意到将一个字符串的所有位置 \(\oplus 2^k\) 相当于将相邻的两个长为 \(2^k\) 的串调换位置，并且异或任意一个数相当于复合若干个这样的变换
求出一个 \(sa_{k,x},rk_{k,x}\) 表示所有异或上某一个值形成的串的 \(2^k\) 的前缀的排序结果，那么我们发现长为 \(2^{k+1}\) 的前缀串实际上是某两个前述前缀串拼起来的结果，套后缀排序，只不过 rk[i+w] 变成了 rk[i^w] 而已
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
int n,m,p,w;
char s[1<<18];
int buc[1<<18|3];
int sa[1<<18],rk[1<<18],id[1<<18],ork[1<<18];
bool cmp(int x,int y){return ork[x]==ork[y]&&ork[x^w]==ork[y^w];}
int main(){
scanf("%d",&n);scanf("%s",s);
for(int i=0;i<(1<<n);++i) ++buc[rk[i]=s[i]-'a'+1];
for(int i=1;i<=26;++i) buc[i]+=buc[i-1];
for(int i=(1<<n)-1;~i;--i) sa[--buc[rk[i]]]=i;
m=26;
for(w=1;w<=(1<<n);w<<=1,m=p,p=0){
for(int i=1;i<=m;++i) buc[i]=0;
for(int i=0;i<(1<<n);++i) ++buc[rk[sa[i]^w]];
for(int i=1;i<=m;++i) buc[i]+=buc[i-1];
for(int i=(1<<n)-1;~i;--i) id[--buc[rk[sa[i]^w]]]=sa[i];
for(int i=1;i<=m;++i) buc[i]=0;
for(int i=0;i<(1<<n);++i) ++buc[rk[id[i]]];
for(int i=1;i<=m;++i) buc[i]+=buc[i-1];
for(int i=(1<<n)-1;~i;--i) sa[--buc[rk[id[i]]]]=id[i];
for(int i=0;i<(1<<n);++i) ork[i]=rk[i];
rk[sa[0]]=p=1;
for(int i=1;i<(1<<n);++i) rk[sa[i]]=cmp(sa[i],sa[i-1])?p:++p;
if(p==(1<<n)) break;
}
for(int i=0;i<(1<<n);++i) putchar(s[i^sa[0]]);
putchar('\n');
return 0;
}
CF1654G Snowy Mountain
感觉从这道题学到了好多套路和分析技巧，以下是对官方题解的一些理解与补充
首先假设我们最后走的长度为 \(len\) ，容易发现，我们最终终点一定是某一个盆地，多源 bfs 出高度 \(d_x\) ，那么发现我们有 \(d_x\) 步在增加动能，剩下的步都在减少动能，也就是说，我们最后一定会剩下 \(d_x-(len-d_x)=2d_x-len\) 单位的动能
考虑一个贪心，如果我们不是直接沿着最短路径滑向某一个盆地的，那么我们一定会经过 \(d_u=d_v\) 的边，如果在经过最后的这样的边时我们还有剩余动能，我们不如在这条边上反复滑来滑去增加距离，这样子的话最后一定一点动能都不剩，再继续沿着最短路径直接滑向某一个盆地（这个过程只会增加动能），最后剩余的动能就是 \(w(=d_u,d_v)\) 。那么这种情况中 \(w=2d_x-len\) ，可以得到 \(len=2d_x-w\) ，我们的任务就是求对每个点 \(x\) 求最优 \(w\)
\(w\) 就是所有能够满足动能限制的前提下被 \(x\) 到达且有一条 \(d_u=d_v\) 的树边的 \(u\) 的最小值，这个东西十分难以处理，很大的原因是这道题的出发点和需考虑的终点都有 \(O(n)\) 个，这个时候找性质就很神了
设 \(S=\{u|\exists (u,v)\in E,d_u=d_v\}\) ，发现 \(\sum_{u\in S} d_u\) 在 \(O(n)\) 级别
这个东西很好理解，因为两个相邻点 \(d_u=d_v\) ，那么他们一定分别由两条长度为 \(d_u/d_v\) 的不交路径增广而来
一堆数的和是 \(O(n)\) 级别，那么数的种类就是 \(O(\sqrt n)\) 级别，那么我们真正需要考虑的终点的 \(d_u\) 种类也是 \(\sqrt(n)\) 级别的
具体地，设 \(f_{u,i}\) 表示从 \(u\) 到每一个 \(d_v=i\) 的点的路程中所有时刻的动能的最小值的相反数的最小值（此时先假设动能可以为负），第二维的大小就是 \(O(\sqrt n)\) 的了
发现这个东西转移顺序不太好搞，首先可以发现如果 \(d\) 不等那么就从 \(d\) 小的转移到 \(d\) 大的，但是 \(d\) 相同的位置是多个连通块
那么对每一个连通块 up and down dp 就可以解决转移顺序的问题了
#include <cstdio>
using namespace std;
int read(){
char c=getchar();int x=0;
while(c<48||c>57) c=getchar();
do x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
while(c>=48&&c<=57);
return x;
}
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int N=200003;
int que[N],tl;
int d[N],n;
int f[N][700];
namespace tr{
int hd[N],ver[N<<1],nxt[N<<1],tot;
void add(int u,int v){nxt[++tot]=hd[u];hd[u]=tot;ver[tot]=v;}
}
namespace bl{
int hd[N],ver[N<<1],nxt[N<<1],tot;
void add(int u,int v){nxt[++tot]=hd[u];hd[u]=tot;ver[tot]=v;}
}
void chmn(int &u,int v){if(u>v) u=v;}
void chmx(int &u,int v){if(u<v) u=v;}
bool vis[N];
int p[N],pp[N],rk;
void updp(int u,int fa){
vis[u]=1;
for(int i=tr::hd[u],v;i;i=tr::nxt[i])
if((v=tr::ver[i])^fa){
if(d[v]!=d[u]) continue;
updp(v,u);
for(int t=1;t<=rk;++t)
chmn(f[u][t],f[v][t]+1);
f[u][pp[d[u]]]=1;
}
}
void downdp(int u,int fa){
for(int i=tr::hd[u],v;i;i=tr::nxt[i])
if((v=tr::ver[i])^fa){
if(d[v]!=d[u]) continue;
for(int t=1;t<=rk;++t)
chmn(f[v][t],f[u][t]+1);
f[v][pp[d[v]]]=1;
downdp(v,u);
}
}
int main(){
n=read();
for(int i=1;i<=n;++i){
int a=read();
if(a==1) vis[que[++tl]=i]=1;
else d[i]=INF;
}
for(int i=1;i<n;++i){
int u=read(),v=read();
tr::add(u,v);tr::add(v,u);
}
for(int it=1;it<=tl;++it){
int u=que[it];
for(int i=tr::hd[u],v;i;i=tr::nxt[i])
if(!vis[v=tr::ver[i]]){
d[v]=d[u]+1;
vis[que[++tl]=v]=1;
}
}
for(int u=1;u<=n;++u){
vis[u]=0;bl::add(d[u],u);
if(pp[d[u]]) continue;
for(int i=tr::hd[u];i;i=tr::nxt[i]){
int v=tr::ver[i];
if(d[u]==d[v]) p[pp[d[u]]=++rk]=d[u];
}
}
for(int o=0;o<=n;++o){
for(int i=bl::hd[o];i;i=bl::nxt[i]){
int u=bl::ver[i];
for(int t=1;t<=rk;++t) f[u][t]=INF;
for(int j=tr::hd[u];j;j=tr::nxt[j]){
int v=tr::ver[j];
if(d[v]!=d[u]-1) continue;
for(int t=1;t<=rk;++t)
if(f[v][t]) chmn(f[u][t],f[v][t]-1);else f[u][t]=0;
}
}
for(int i=bl::hd[o];i;i=bl::nxt[i]){
int u=bl::ver[i];
if(!vis[u]) updp(u,0),downdp(u,0);
}
}
for(int u=1;u<=n;++u){
int res=d[u];
for(int t=1;t<=rk;++t)
if(!f[u][t]) chmx(res,d[u]+d[u]-p[t]);
printf("%d ",res);
}
putchar('\n');
return 0;
}
