[JOISC 2021 Day4] 最悪の記者 4 题解
考虑 \(i\) 向 \(a_i\) 连边，构成一个内向基环树，注意到环上的人的 Rating 都应相等，而树上祖先的 Rating 都比后代小。
假设只有一棵树的情况。注意到这样一个事实：
当确定好不更改哪一些人的 Rating 时，如果这些人的 Rating 满足了他们之间已经有了的限制关系，剩下的人通过更改 Rating 一定能够满足题意。
问题转化成了保留一定数量的点满足限制关系，且这些点的权值和最大，想到树形 DP。
设 \(f_u\) 表示第 \(u\) 个人必须选，其子树中的选择的点权值和的最大值。
\[f_u=c_u+\max_{S\in subtree(u)/\{u\}}\sum_{v \in S} f_v
\]
其中 \(S\) 是两两没有祖先关系且 Rating 都大于 \(h_u\) 的一些点的集合。
发现这些点的选取跟 \(h_u\) 有关，把 \(h_u\) 离散化后记这些转移式右边那坨为 \(g_{u,i}\)，表示仅考虑那些 \(h_v\geq i\) 的点的答案。
这样子就 \(f_u=c_u+g_{u,h_u}\) 了。
转移 \(g\) 数组就把各个儿子对应位置的值相加，再与父亲的 DP 值 \([1,h_u]\) 前缀取 max 即可，线段树合并维护。
现在线段树要支持区间取 max 和合并，也就是说要取 max 还要加，想了很久。
后来问了同机房数据结构神仙才知道要维护两个懒标记，像线段树2一样先 max 后 +，本质上是广义矩阵乘法，写一个 struct 复合懒标记即可。
至于环上的话枚举将值修改成环上的哪一个值或者是全局最小值，取最大值统计答案。
代码：
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int _=200003;
int n,cnt;
int a[_],h[_],c[_],t[_];
int read(){
char c=getchar();int x=0;
while (c<48||c>57) c=getchar();
do x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
while (c>=48&&c<=57);
return x;
}
typedef long long ll;
struct tags{ll a,c;tags(ll A=0,ll C=0):a(A),c(C){}};
tags operator*(const tags x,const tags y){
return tags(max(x.a,y.a-x.c),x.c+y.c); //这里需要稍微推下式子
}
int hd[_],ver[_],nxt[_],tot;
void add(int u,int v){nxt[++tot]=hd[u];hd[u]=tot;ver[tot]=v;}
tags sg[_<<6];
int lc[_<<6],rc[_<<6];
void pushdown(int p){
if (sg[p].a||sg[p].c){
if (!lc[p]) lc[p]=++cnt;
sg[lc[p]]=sg[lc[p]]*sg[p];
if (!rc[p]) rc[p]=++cnt;
sg[rc[p]]=sg[rc[p]]*sg[p];
sg[p]=tags();
}
}
ll query(int x,int &p,int l=1,int r=n){
if (!p) p=++cnt;
if (l==r) return sg[p].a+sg[p].c;
pushdown(p);
int mid=(l+r)>>1;
if (x<=mid) return query(x,lc[p],l,mid);
else return query(x,rc[p],mid+1,r);
}
void modify(int x,ll v,int &p,int l=1,int r=n){
if (!p) p=++cnt;
if (x>=r) {sg[p]=sg[p]*tags(v,0);return;}
pushdown(p);
int mid=(l+r)>>1;
modify(x,v,lc[p],l,mid);
if (x>mid) modify(x,v,rc[p],mid+1,r);
}
int merge(int u,int v){
if (!u||!v) return u^v;
if (!lc[u]&&!rc[u]) u^=v^=u^=v;
if (!lc[v]&&!rc[v]) sg[u]=sg[u]*tags(0,sg[v].a+sg[v].c);
//每一次都pushdown强行新建节点复杂度会爆炸，所以没有儿子节点时改为添加加法懒标记
else pushdown(u),pushdown(v);
lc[u]=merge(lc[u],lc[v]);
rc[u]=merge(rc[u],rc[v]);
return u;
}
int rt[_];ll buc[_];
bool vis[_],cir[_],tmp[_];
void dfs(int u){
for (int i=hd[u]; i; i=nxt[i]){
int v=ver[i];
if (cir[v]) continue;
dfs(v);
rt[u]=merge(rt[u],rt[v]);
}
ll v=query(h[u],rt[u])+c[u];
if (!cir[u]) modify(h[u],v,rt[u]);
}
int main(){
ll sum=0; n=read();
for (int i=1; i<=n; ++i){
a[i]=read(); t[i]=h[i]=read();
sum+=c[i]=read(); add(a[i],i);
}
sort(t+1,t+n+1);
int rk=unique(t+1,t+n+1)-t-1;
for (int i=1; i<=n; ++i) h[i]=lower_bound(t+1,t+rk+1,h[i])-t;
for (int i=1; i<=n; ++i)
if (!vis[i]){
int cur=i;
while (!vis[cur]) tmp[cur]=vis[cur]=1,cur=a[cur];
if (tmp[cur]) while (!cir[cur]) cir[cur]=1,cur=a[cur];
cur=i;while (tmp[cur]) tmp[cur]=0,cur=a[cur];
}
for (int i=1; i<=n; ++i) if (cir[i]) dfs(i);
for (int i=1; i<=n; ++i)
if (cir[i]){
int cur=i;
while (cir[cur]){
cir[cur]=0;
if (cur^i) rt[i]=merge(rt[i],rt[cur]);
buc[h[cur]]+=c[cur];
cur=a[cur];
}
ll res=query(1,rt[i]);
while (!tmp[cur]){
tmp[cur]=1;
res=max(res,query(h[cur],rt[i])+buc[h[cur]]);
cur=a[cur];
}
sum-=res;
while (tmp[cur]){
tmp[cur]=0;
buc[h[cur]]=0;
cur=a[cur];
}
}
printf("%lld\n",sum);
return 0;
}
时间复杂度 \(\mathcal{O}(n\log_2n)\)
