中国剩余定理（模数互质）

中国剩余定理是一个很神奇的定理hhh，用处是求这样的方程组

举个栗子~

存在一个数x，除以3余2，除以5余三，除以7余二，然后求这个数

很显然，我们会这样思考：可以先找一个数，满足除以3余2（比如2），再去判断是否这个数是否满足第二个条件：除以5余3，如果不满足，再加上一个3，满足了第二个条件后，再同样的去找满足第三个条件的数。（这就是一般会想到的做法）

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那么中国剩余定理是什么样的呢？（参考https://www.cnblogs.com/freinds/p/6388992.html）

以下是模数互质的情况！

先说两个很重要的定理

定理1：两个数相加，如果存在一个加数，不能被整数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。

定理2：两数不能整除，若除数扩大（或缩小）了几倍，而被除数不变，则其商和余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数（余数必小于除数）。

1、求出最小公倍数

 lcm=3*5*7=105（乘的是模数）

2、求各个数所对应的基础数

（1）105÷3=35

 35÷3=11......2 //基础数35

（2）105÷5=21

 21÷5=4......1

 定理2把1扩大3倍得到3，那么被除数也扩大3倍，得到21*3=63//基础数63

3、105÷7=15

15÷7=2......1

定理2把1扩大2倍得到2，那么被除数也扩大2倍，得到15*2=30//基础数30

把得到的基础数加和（注意：基础数不一定就是正数）

35+63+30=128

4、减去最小公倍数lcm（在比最小公倍数大的情况下）

x=128-105=23

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然后就要解释一下这样算的正确性了

求出基础数，每个方程的基础数满足：本方程的模数不可以被整除，但是其他所有方程的可以被此基础数整除（根据lcm的性质）

若求出的基础数，mod当前模数得到的值不满足要求，就同时扩大（正确性是显然的，可以自己手推一下）

最后把基础数加起来，则一定是满足题目要求的。为什么呢？

根据定理1 

35+63+30=128。对于3来说，可以把63+30的和看作一个整体，应该他们都可以被3整除。看着上面写出的三个数的特征，运用定理1来说，就是在35的基础上加上一个可以被3整除的倍数，那么得到的结果依然还是满足原先的性质的，就是128除以同样还是余2的。同理，对于5还说，这个数被除之后会剩余3；对于7来说，被除之后剩余2。所以说，我们当前得到的这个数是满足题目要求的一个数。但是这个数是不是最小的，那就不一定了。

那怎么满足是最小的呢？

要用到他们的最小公倍数。最小公倍数顾名思义，一定是一个同时被几个数整除的最小的一个数，所以减去它剩余下来的余数还是符合题意要求的。当然也同样可以运用定理1来解释，只不过是加法变成了减法，道理还是一样的。当然具体要不要减还是要看和lcm的大小关系的。

OK，那我们可以看这样一道模板题——poj1006生理周期（是一道板子题）

Description

人生来就有三个生理周期，分别为体力、感情和智力周期，它们的周期长度为23天、28天和33天。每一个周期中有一天是高峰。在高峰这天，人会在相应的方面表现出色。例如，智力周期的高峰，人会思维敏捷，精力容易高度集中。因为三个周期的周长不同，所以通常三个周期的高峰不会落在同一天。对于每个人，我们想知道何时三个高峰落在同一天。对于每个周期，我们会给出从当前年份的第一天开始，到出现高峰的天数（不一定是第一次高峰出现的时间）。你的任务是给定一个从当年第一天开始数的天数，输出从给定时间开始（不包括给定时间）下一次三个高峰落在同一天的时间（距给定时间的天数）。例如：给定时间为10，下次出现三个高峰同天的时间是12，则输出2（注意这里不是3）。
Input

输入四个整数：p, e, i和d。 p, e, i分别表示体力、情感和智力高峰出现的时间（时间从当年的第一天开始计算）。d 是给定的时间，可能小于p, e, 或 i。 所有给定时间是非负的并且小于365, 所求的时间小于21252。

当p = e = i = d = -1时，输入数据结束。
Output

从给定时间起，下一次三个高峰同天的时间（距离给定时间的天数）。

采用以下格式：
Case 1: the next triple peak occurs in 1234 days.

注意：即使结果是1天，也使用复数形式“days”。
Sample Input

0 0 0 0
0 0 0 100
5 20 34 325
4 5 6 7
283 102 23 320
203 301 203 40
-1 -1 -1 -1
Sample Output

Case 1: the next triple peak occurs in 21252 days.
Case 2: the next triple peak occurs in 21152 days.
Case 3: the next triple peak occurs in 19575 days.
Case 4: the next triple peak occurs in 16994 days.
Case 5: the next triple peak occurs in 8910 days.
Case 6: the next triple peak occurs in 10789 days.

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代码是这样的（比较中国剩余定理思想）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int r1,r2,r3,r;                                                          
void solve()
{
    int t;
    for(int j=1;r1=28*33;j++)
      if(r1*j%23==1) 
      {
          t=j;
          break;
      }
    r1*=t;
    for(int j=1;r2=23*33;j++)
      if(r2*j%28==1) 
      {
          t=j;
          break;
      }
    r2*=t;
    for(int j=1;r3=28*23;j++)
      if(r3*j%33==1) 
      {
          t=j;
          break;
      }
    r3*=t;
    r=23*33*28;
}
int main()
{
    //(n+d)%23=p,(n+d)%28=e,(n+d)%33=i
    int p,e,i,d,sum;
    while(scanf("%d%d%d%d",&p,&e,&i,&d),p!=-1&&e!=-1&&i!=-1&&d!=-1)
    {
        solve();
        if(p==0&&e==0&&i==0&&d==0) 
        {
            printf("Case 1: the next triple peak occurs in 21252 days.\n");
            continue;
        }
        sum=(r1*p+r2*e+r3*i-d)%r;
        sum=(sum%r+r)%r;
        printf("Case 1: the next triple peak occurs in %d days.\n",sum);
    }
}

所以上面就是模数互质的情况