深度优先和广度优先搜索
一、二叉树深度优先（DFS）和广度优先（BFS）搜索算法
树的相关概念参见 红黑树详解
（1）深度优先搜索算法（Depth First Search），是搜索算法的一种。是沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深的搜索树的分支。当节点v的所有边都己被探寻过，搜索将回溯到发现节点v的那条边的起始节点。这一过程一直进行到已发现从源节点可达的所有节点为止。如果还存在未被发现的节点，则选择其中一个作为源节点并重复以上过程，整个进程反复进行直到所有节点都被访问为止。
如下图所示的二叉树：
A 是第一个访问的，然后顺序是 B、D，然后是 E。接着再是 C、F、G。那么，怎么样才能来保证这个访问的顺序呢？分析一下，在遍历了根结点后，就开始遍历左子树，最后才是右子树。因此可以借助堆栈的数据结构，由于堆栈是后进先出的顺序，由此可以先将右子树压栈，然后再对左子树压栈，这样一来，左子树结点就存在了栈顶上，因此某结点的左子树能在它的右子树遍历之前被遍历。
深度优先遍历代码片段：
//深度优先遍历:非递归,使用栈模拟 void depthFirstSearch(Tree root){ stack<Node *> nodeStack; //使用C++的STL标准模板库 nodeStack.push(root); Node *node; while(!nodeStack.empty()){ node = nodeStack.top(); printf(format, node->data); //遍历根结点 nodeStack.pop(); if(node->rchild){ nodeStack.push(node->rchild); //先将右子树压栈 } if(node->lchild){ nodeStack.push(node->lchild); //再将左子树压栈 } } } //深度优先遍历:递归,中序遍历 void MidOrder(TreeNode node) { if (node != null) { MidOrder(node->lchild); printf(format, node->data); //遍历根结点 MidOrder(node->lchild); } else { //done } }
（2）广度优先搜索算法（Breadth First Search），又叫宽度优先搜索，或横向优先搜索。是从根节点开始，沿着树的宽度遍历树的节点。如果所有节点均被访问，则算法中止。
如下图所示的二叉树：
A 是第一个访问的，然后顺序是 B、C，然后再是 D、E、F、G。那么，怎样才能来保证这个访问的顺序呢？借助队列数据结构，由于队列是先进先出的顺序，因此可以先将左子树入队，然后再将右子树入队。这样一来，左子树结点就存在队头，可以先被访问到。
广度优先遍历代码片段：
//广度优先遍历:使用队列模拟 void breadthFirstSearch(Tree root){ queue<Node *> nodeQueue; //使用C++的STL标准模板库 nodeQueue.push(root); Node *node; while(!nodeQueue.empty()){ node = nodeQueue.front(); nodeQueue.pop(); printf(format, node->data); if(node->lchild){ nodeQueue.push(node->lchild); //先将左子树入队 } if(node->rchild){ nodeQueue.push(node->rchild); //再将右子树入队 } } }
二、图的深度优先（DFS）和广度优先（BFS）搜索算法
在介绍图的搜索之前，有必要先了解计算机中图的存储方式。图的存储表示方法很多，这里介绍两种最常用的方法。至于具体选择哪一种表示法，主要取决于具体的应用和欲施加的操作。为了适合用C语言描述，以下假定顶点序号从0开始，即图G的顶点集的一般形式是V(G)={v0，vi，…，Vn-1}。
（1）图的邻接矩阵表示法
1．图的邻接矩阵表示法
在图的邻接矩阵表示法中：
① 用邻接矩阵表示顶点间的相邻关系
② 用一个顺序表来存储顶点信息
2．图的邻接矩阵(Adacency Matrix)
设G=(V，E)是具有n个顶点的图，则G的邻接矩阵是具有如下性质的n阶方阵：
【例】下图中无向图G5和有向图G6的邻接矩阵分别为Al和A2。
3．网络的邻接矩阵
若G是网络，则邻接矩阵可定义为：
其中：
wij表示边上的权值；
∞表示一个计算机允许的、大于所有边上权值的数。
【例】下面带权图的两种邻接矩阵分别为A3和A4。
4．图的邻接矩阵存储结构形式说明
#define MaxVertexNum l00 //最大顶点数，应由用户定义 typedef char VertexType； //顶点类型应由用户定义 typedef int EdgeType； //边上的权值类型应由用户定义 typedef struct{ VextexType vexs[MaxVertexNum] //顶点表 EdeType edges[MaxVertexNum][MaxVertexNum]; //邻接矩阵，可看作边表 int n，e； //图中当前的顶点数和边数 }MGragh；
注意：
① 在简单应用中，可直接用二维数组作为图的邻接矩阵（顶点表及顶点数等均可省略）。
② 当邻接矩阵中的元素仅表示相应的边是否存在时，EdgeTyPe可定义为值为0和1的枚举类型。
③ 无向图的邻接矩阵是对称矩阵，对规模特大的邻接矩阵可压缩存储。
④ 邻接矩阵表示法的空间复杂度S(n)=0(n2)。
5．建立无向网络的算法。
void CreateMGraph(MGraph *G) {//建立无向网的邻接矩阵表示 int i，j，k，w； scanf("％d％d"，&G->n，&G->e)； //输入顶点数和边数 for(i=0;i<G->n；i++) //读人顶点信息，建立顶点表 G->vexs[i]=getchar()； for(i=0；i<G->n；i++) for(j=0；j<G->n；j++) G->edges[i][j]=0； //邻接矩阵初始化 for(k=0；k<G->e；k++){//读入e条边，建立邻接矩阵 scanf("％d％d％d"，&i，&j，&w)；//输入边(vi,vj)上的权w G->edges[i][j]=w； G->edges[j][i]=w； } }//CreateMGraph
该算法的执行时间是0(n+n2+e)。由于e<n2，算法的时间复杂度是0(n2)。
（2）图的邻接表表示法
图的邻接表表示法类似于树的孩子链表表示法。对于图G中的每个顶点vi，该方法把所有邻接于vi的顶点vj链成一个带头结点的单链表，这个单链表就称为顶点vi的邻接表(Adjacency
List)。
1． 邻接表的结点结构
（1）表结点结构
邻接表中每个表结点均有两个域:
① 邻接点域adjvex：存放与vi相邻接的顶点vj的序号j。
② 链域next：将邻接表的所有表结点链在一起。
注意：若要表示边上的信息(如权值)，则在表结点中还应增加一个数据域。
（2）头结点结构
顶点vi邻接表的头结点包含两个域：
① 顶点域vertex：存放顶点vi的信息
② 指针域firstedge：vi的邻接表的头指针。
注意：
① 为了便于随机访问任一顶点的邻接表，将所有头结点顺序存储在一个向量中就构成了图的邻接表表示。
②
有时希望增加对图的顶点数及边数等属性的描述，可将邻接表和这些属性放在一起来描述图的存储结构。
2．无向图的邻接表
对于无向图，vi的邻接表中每个表结点都对应于与vi相关联的一条边。因此，将邻接表的表头向量称为顶点表。将无向图的邻接表称为边表。
【例】对于无向图G5，其邻接表表示如下面所示，其中顶点v0的边表上三个表结点中的顶点序号分别为1、2和3，它们分别表示关联于v0的三条边(v0，v1)，(v0，v2)和(v0，v3)。
注意：n个顶点e条边的无向图的邻接表表示中有n个顶点表结点和2e个边表结点。
3．有向图的邻接表
对于有向图，vi的邻接表中每个表结点都对应于以vi为始点射出的一条边。因此，将有向图的邻接表称为出边表。
【例】有向图G6的邻接表表示如下面(a)图所示，其中顶点v1的邻接表上两个表结点中的顶点序号分别为0和4，它们分别表示从v1射出的两条边(简称为v1的出边)：<v1，v0>和<v1，v4>。
注意：n个顶点e条边的有向图，它的邻接表表示中有n个顶点表结点和e个边表结点。
4．有向图的逆邻接表
在有向图中，为图中每个顶点vi建立一个入边表的方法称逆邻接表表示法。
入边表中的每个表结点均对应一条以vi为终点(即射入vi)的边。
【例】G6的逆邻表如上面(b)图所示，其中v0的人边表上两个表结点1和3分别表示射人v0的两条边(简称为v0的入边)：<v1，v0>和<v3，v0>。
注意：n个顶点e条边的有向图，它的接表表示中有n个顶点表结点和e个边表结点。
5．邻接表的形式说明及其建表算法
（1）邻接表的形式说明
typedef struct node{//边表结点 int adjvex； //邻接点域 struct node *next； //链域 //若要表示边上的权，则应增加一个数据域 }EdgeNode; typedef struct vnode{ //顶点表结点 VertexType vertex； //顶点域 EdgeNode *firstedge；//边表头指针 }VertexNode； typedef VertexNode AdjList[MaxVertexNum]；//AdjList是邻接表类型 typedef struct{ AdjList adjlist；//邻接表 int n，e； // 图中当前顶点数和边数 }ALGraph； //对于简单的应用，无须定义此类型，可直接使用AdjList类型。
(2)建立无向图的邻接表算法
void CreateALGraPh(ALGrahp *G) {//建立无向图的邻接表表示 int i，j，k； EdgeNode *s； scanf("％d％d"，&G->n，&G->e)； //读人顶点数和边数 for(i=0；i<G->n；i++){//建立顶点表 G->adjlist[i].vertex=getchar()； //读入顶点信息 G->adjlist[i].firstedge=NULL；//边表置为空表 } for(k=0；k<G->e；k++){//建立边表 scanf("％d％d"，&i,&j)；// 读入边(vi，vj)的顶点对序号 s=(EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode))； //生成边表结点 s->adjvex=j; //邻接点序号为j s->next=G->adjlist[i].firstedge； G->adjlist[i].firstedge=s； //将新结点*s插入顶点vi的边表头部 s=(EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode))； s->adjvex=i; //邻接点序号为i s->next=G->adjlist[j].firstedge； G->adjlistk[j].firstedge=s； //将新结点*s插入顶点vj的边表头部 }//end for }CreateALGraph
该算法的时间复杂度是O(n+e)。
注意：
①建立有向图的邻接表更简单，每当读人一个顶点对序号<i,j>时，仅需生成一个邻接序号为j的边表结点，将其插入到vj的出边表头部即可。
② 建立网络的邻接表时，需在边表的每个结点中增加一个存储边上权的数据域。
（3）图的遍历
1、图的遍历
和树的遍历类似，图的遍历也是从某个顶点出发，沿着某条搜索路径对图中每个顶点各做一次且仅做一次访问。它是许多图的算法的基础。深度优先遍历和广度优先遍历是最为重要的两种遍历图的方法。它们对无向图和有向图均适用。
注意：
以下假定遍历过程中访问顶点的操作是简单地输出顶点。
2、布尔向量visited[0．．n-1]的设置
图中任一顶点都可能和其它顶点相邻接。在访问了某顶点之后，又可能顺着某条回路又回到了该顶点。为了避免重复访问同一个顶点，必须记住每个已访问的顶点。为此，可设一布尔向量visited[0．．n-1]，其初值为假，一旦访问了顶点Vi之后，便将visited[i]置为真。
深度优先遍历(Depth-First Traversal)
1．图的深度优先遍历的递归定义
假设给定图G的初态是所有顶点均未曾访问过。在G中任选一顶点v为初始出发点(源点)，则深度优先遍历可定义如下：首先访问出发点v，并将其标记为已访问过；然后依次从v出发搜索v的每个邻接点w。若w未曾访问过，则以w为新的出发点继续进行深度优先遍历，直至图中所有和源点v有路径相通的顶点(亦称为从源点可达的顶点)均已被访问为止。若此时图中仍有未访问的顶点，则另选一个尚未访问的顶点作为新的源点重复上述过程，直至图中所有顶点均已被访问为止。
图的深度优先遍历类似于树的前序遍历。采用的搜索方法的特点是尽可能先对纵深方向进行搜索。这种搜索方法称为深度优先搜索(Depth-First Search)。相应地，用此方法遍历图就很自然地称之为图的深度优先遍历。
2、深度优先搜索的过程
设x是当前被访问顶点，在对x做过访问标记后，选择一条从x出发的未检测过的边(x，y)。若发现顶点y已访问过，则重新选择另一条从x出发的未检测过的边，否则沿边(x，y)到达未曾访问过的y，对y访问并将其标记为已访问过；然后从y开始搜索，直到搜索完从y出发的所有路径，即访问完所有从y出发可达的顶点之后，才回溯到顶点x，并且再选择一条从x出发的未检测过的边。上述过程直至从x出发的所有边都已检测过为止。此时，若x不是源点，则回溯到在x之前被访问过的顶点；否则图中所有和源点有路径相通的顶点(即从源点可达的所有顶点)都已被访问过，若图G是连通图，则遍历过程结束，否则继续选择一个尚未被访问的顶点作为新源点，进行新的搜索过程。
3、深度优先遍历的递归算法
//（1）深度优先遍历算法 typedef enum{FALSE，TRUE}Boolean；//FALSE为0，TRUE为1 Boolean visited[MaxVertexNum]； //访问标志向量是全局量 void DFSTraverse(ALGraph *G) { //深度优先遍历以邻接表表示的图G，而以邻接矩阵表示G时，算法完全与此相同 int i； for(i=0;i<G->n;i++) visited[i]=FALSE； //标志向量初始化 for(i=0;i<G->n；i++) if(!visited[i]) //vi未访问过 DFS(G，i)； //以vi为源点开始DFS搜索 }//DFSTraverse //（2）邻接表表示的深度优先搜索算法 void DFS(ALGraph *G，int i){ //以vi为出发点对邻接表表示的图G进行深度优先搜索 EdgeNode *p； printf("visit vertex：％c"，G->adjlist[i].vertex)；//访问顶点vi visited[i]=TRUE； //标记vi已访问 p=G->adjlist[i].firstedge； //取vi边表的头指针 while(p){//依次搜索vi的邻接点vj，这里j=p->adjvex if (!visited[p->adjvex])//若vi尚未被访问 DFS(G，p->adjvex);//则以Vj为出发点向纵深搜索 p=p->next； //找vi的下一邻接点 } }//DFS //（3）邻接矩阵表示的深度优先搜索算法 void DFSM(MGraph *G，int i) { //以vi为出发点对邻接矩阵表示的图G进行DFS搜索，设邻接矩阵是0,l矩阵 int j； printf("visit vertex：％c"，G->vexs[i])；//访问顶点vi visited[i]=TRUE； for(j=0；j<G->n；j++) //依次搜索vi的邻接点 if(G->edges[i][j]==1&&!visited[j]) DFSM(G，j)//(vi，vj)∈E，且vj未访问过，故vj为新出发点 }//DFSM
4、算法分析
对于具有n个顶点和e条边的无向图或有向图，遍历算法DFSTraverse对图中每顶点至多调用一次DFS或DFSM。从DFSTraverse中调用DFS(或DFSM)及DFS(或DFSM)内部递归调用自己的总次数为n。
当访问某顶点vi时，DFS(或DFSM)的时间主要耗费在从该顶点出发搜索它的所有邻接点上。用邻接矩阵表示图时，其搜索时间为O(n)；用邻接表表示图时，需搜索第i个边表上的所有结点。因此，对所有n个顶点访问，在邻接矩阵上共需检查n2个矩阵元素，在邻接表上需将边表中所有O(e)个结点检查一遍。
所以，DFSTraverse的时间复杂度为O(n2) （调用DFSM）或0(n+e)（调用DFS）。
5、深度优先遍历的非递归算法
// 图的深度优先遍历：非递归，邻接矩阵存储 void DFSTraverse_NonRecursion(ALGraph *G) { int i, j, k; stack st;
EdgeNode *p; for(i=0; i<G->n; i++) visited[i]=FALSE; for(i=0; i<G->n; i++) // 遍历所有点，处理包括非连通图情况 if(!visited[i]) { visited[i]=TRUE; printf("visit vertex：％c"，G->vexs[i])；//访问顶点vi push_stack(st, i); k = i;
while (!empty_stack(st)) {
p = st.top();
k = p->adjvex;
st.pop(); for(j=0；j<G->n；j++) { if(G->edges[k][j]==1 && !visited[j]) { visited[j]=TRUE; printf("visit vertex：％c"，G->vexs[j])；//访问顶点vi st.push(j); k = j; } } } } }
广度优先遍历(Breadth-FirstTraversal)
1、广度优先遍历的递归定义
设图G的初态是所有顶点均未访问过。在G中任选一顶点v为源点，则广度优先遍历可以定义为：首先访问出发点v，接着依次访问v的所有邻接点w1，w2，…，wt，然后再依次访问与wl，w2，…，wt邻接的所有未曾访问过的顶点。依此类推，直至图中所有和源点v有路径相通的顶点都已访问到为止。此时从v开始的搜索过程结束。
若G是连通图，则遍历完成；否则，在图C中另选一个尚未访问的顶点作为新源点继续上述的搜索过程，直至G中所有顶点均已被访问为止。
广度优先遍历类似于树的按层次遍历。采用的搜索方法的特点是尽可能先对横向进行搜索，故称其为广度优先搜索(Breadth-FirstSearch)。相应的遍历也就自然地称为广度优先遍历。
2、广度优先搜索过程
在广度优先搜索过程中，设x和y是两个相继要被访问的未访问过的顶点。它们的邻接点分别记为x1，x2，…，xs和y1，y2，…，yt。
为确保先访问的顶点其邻接点亦先被访问，在搜索过程中使用FIFO队列来保存已访问过的顶点。当访问x和y时，这两个顶点相继入队。此后，当x和y相继出队时，我们分别从x和y出发搜索其邻接点x1，x2，…，xs和y1，y2，…，yt，对其中未访者进行访问并将其人队。这种方法是将每个已访问的顶点人队，故保证了每个顶点至多只有一次人队。
3、广度优先搜索算法
//(1)邻接表表示图的广度优先搜索算法 void BFS(ALGraph*G，int k) {// 以vk为源点对用邻接表表示的图G进行广度优先搜索 int i； CirQueue Q； //须将队列定义中DataType改为int EdgeNode *p； InitQueue(&Q)；//队列初始化 //访问源点vk printf("visit vertex：％e"，G->adjlist[k].vertex)； visited[k]=TRUE； EnQueue(&Q，k)；//vk已访问，将其人队。（实际上是将其序号人队） while(!QueueEmpty(&Q)){//队非空则执行 i=DeQueue(&Q)； //相当于vi出队 p=G->adjlist[i].firstedge； //取vi的边表头指针 while(p){//依次搜索vi的邻接点vj(令p->adjvex=j) if(!visited[p->adivex]){ //若vj未访问过 printf("visitvertex：％c"，C->adjlistlp->adjvex].vertex)； //访问vj visited[p->adjvex]=TRUE； EnQueue(&Q，p->adjvex)；//访问过的vj人队 }//endif p=p->next；//找vi的下一邻接点 }//endwhile }//endwhile }//end of BFS //（2）邻接矩阵表示的图的广度优先搜索算法 void BFSM(MGraph *G，int k) {// 以vk为源点对用邻接矩阵表示的图G进行广度优先搜索 int i，j； CirQueue Q； InitQueue(&Q)； printf("visit vertex：％c"，G->vexs[k])； //访问源点vk visited[k]=TRUE； EnQueue(&Q，k)； while(!QueueEmpty(&Q)){ i=DeQueue(&Q)； //vi出队 for(j=0;j<G->n;j++)//依次搜索vi的邻接点vj if(G->edges[i][j]==1&&!visited[j]){//vi未访问 printf("visit vertex：％c"，G->vexs[j])；//访问vi visited[j]=TRUE； EnQueue(&Q，j)；//访问过的vi人队 } }//endwhile }//BFSM
4、算法分析
对于具有n个顶点和e条边的无向图或有向图，每个顶点均入队一次。广度优先遍历(BFSTraverse)图的时间复杂度和DFSTraverse算法相同。
当图是连通图时，BFSTraverse算法只需调用一次BFS或BFSM即可完成遍历操作，此时BFS和BFSM的时间复杂度分别为O(n+e)和0(n2)。
【参考】http://sjjp.tjuci.edu.cn/sjjg/DataStructure/DS/web/tu/tu7.1.1.htm
