最坏情况为线性时间的选择算法
求给定输入中第k大的数的算法。
这是一个常见面试题，通常的解法也很明显，使用类似快排的思想。
每趟运行，把数组的值分成两部分，一部分比pivot大，一部分比pivot小，因为我们知道pivot在数组中的位置，所以比较k和pivot的位置就知道第k大的值在哪个范围，我们不断的进行recursion, 直到pivot就是第k大的值。
这个算法的时间预期是O(n)。这里需要注意的是讲的仅限于它的预期，对于这个算法，其在最差情况下，时间复杂度则为n的平法。
参阅快速排序的无敌对手一文，我们是可以构建出一个这样的序列的。最简单的情况，每趟快排的时候我们以第一个为主元，那么对于一个已经排序好的序列，我们要找最大的数，最后的时间花费就退化成了n的平方。
《算法导论》9.3章给出了一个最差情况也为线性O(n)的算法。
Step 1：把数组划分为若干个子数组，每个子数组里包含5个数，因为会有无法整除的可能，所以最后一个子数组会小于5.
Step 2：用插入排序把这5个数排序，然后找出中位数，也就是第3个。
Step 3：把获得的中位数又排序（这个地方错误，不是排序，应该递归调用SELECT），找出中位数的中位数x（如果有偶数个中位数，为了方便，约定ｘ是较小的中位数）。
Step 4：把原来的数组使用类似快排的方法，分成两个部分。让ｋ比划分的低区中的元素数目多１，因此ｘ是第ｋ小元素，并且有ｎ-ｋ个元素在划分的高区.
Step 5：如果i =ｋ，返回ｘ。如果 i < k， 则在低区递归调用来找出第ｉ小的元素．如果ｉ> ｋ，则在高区递归查找第ｉ- ｋ小的元素．
整个过程中，第1,2,4步所需时间为O(n)， 注意第2步的复杂度不为O(n^2)，第3步的复杂度为 T(n/5)，第五步的复杂度为 T(7n/10)。
注意这里第2步虽然我们使用的是插入排序，但是待排的序列长度为常数5，所以对一组的排序时间花费为O(1),对于n/5个组,其时间预期是O(n/5),即O(n)。
时间预期为：
T(n) <= T( n/5 ) + T(7n/10+6) + O(n)
(书中通过数学方法最后推得时间预期是O(n)。因为需要较多的数学准备知识，这里不继续介绍。)
在这章的习题中，基于这个算法，要求证明原先Step 1中划分为每组3个和7个的情况的复杂度。7个的情况证明结果和5是一样的。但是对于3的情况，其结果最后可以证明出复杂度并非O(n)。
尝试证明关键步骤如下:
对于划分为3个元素的情况，可以得到递推式(过程略):
T(n) <= T( n/3 ) + T(2n/3+4) + O(n)
假设存在某个适当大的常数c,使得T(n)<=cn(为什么这样可查阅《算法导论》第一章),用an替代O(n)(因为O(n)代表的这部分的时间花费是线性的，那么必然存在一个常数a,使得an为这部分时间花费)用cn代换掉式中的T(n)那么有：
T(n)<= c(n/3) + c(2n/3+4) + an <= cn/3 + c + 2cn/3 + 4c + O(n)= cn + 5c + an
根据假设，T(n)的最大值是cn,那么又有:
cn + 5c + an <= cn
5c + an <=0
显然又 a, n > 0，那么欲使等式成立，必有c<=0。与我们假设的矛盾。所以我们的假设不成立。
因此，当我们尝试用3划分的时候，该算法的无法在线性复杂度内运行。
这个算法的实现代码比较复杂。对于每组划分5个元素的情况， 实现代码如下(该代码输出的是第ｉ大的元素，上面的解释是输出第ｉ小的元素)：
1 #include <stdlib.h> 2 #include <stdio.h> 3 #define swap(a,b) (a)^=(b);(b)^=(a);(a)^=(b) 4 #define MAX 1000 5 6 void sort(int* input, int size){ 7 printf ( "sort arry size = %d\n", size ); 8 int i,j; 9 for(i = 0; i< size ; i++){ 10 for(j = 0; j<size-i-1;j++){ 11 if(input[j]<input[j+1]){ 12 swap(input[j],input[j+1]); 13 } 14 } 15 } 16 } 17 void output(int * input, int size){ 18 for(;size>0 && *input;size--,input++){ 19 printf("%d ", *input); 20 } 21 printf("\n"); 22 23 } 24 25 int partion(int *input, int size, int key){ 26 printf ( "--------------Step4---------------\n" ); 27 printf("key = %d \n", input[key]); 28 int *head, *tail; 29 head = input; 30 tail = head + size - 1; 31 swap(*head, input[key]); 32 33 int *k = head; 34 while(head<tail){ 35 while(*tail && *k >= *tail){ 36 tail--; 37 } 38 if(tail<=head) break; 39 swap(*k,*tail); 40 k = tail; 41 while(*head && *k < *head) 42 head++; 43 if(head>=tail) break; 44 swap(*k,*head); 45 k = head; 46 } 47 output(input, size); 48 printf ( "--------------Step4 done--------------\n" ); 49 return k-input+1; 50 } 51 52 int kselect(int *input, int size, int k){ 53 printf ( "start element : %d \n", *input ); 54 if(size<=5){ 55 sort(input, size); 56 return input[k-1]; 57 } 58 int mid[MAX] = {0}; 59 int midvalue[MAX] = {0}; 60 int groups = size/5; 61 int i; 62 63 printf ( "-----------------step 1, 2--------------\n" ); 64 for(i = 0; i<groups;i++){ 65 sort(input+i*5, (i*5+5 > size) ? (size-1):5); 66 printf ( "sorted group %d:\n", i ); 67 output(input+i*5, 5); 68 mid[i] = i*5 + 2; 69 midvalue[i] = input[i*5 + 2]; 70 } 71 72 printf ( "-----------------step 1, 2 done--------------\n" ); 73 74 printf ( "---------step3-------------\n" ); 75 sort(midvalue, groups); 76 printf ( "---------step3 done-------\n" ); 77 int m = -1; 78 for(i = 0; i<5;i++){ 79 if(input[mid[i]] == midvalue[groups/2]){ 80 m = partion(input, size, mid[i]); 81 } 82 } 83 if(m == k){ 84 return input[m-1]; 85 } 86 if(k<m){ 87 return kselect(input,m,k); 88 } 89 else{ 90 return kselect(input+m, size - m, k-m); 91 } 92 return 0xffff; 93 } 94 95 int main(){ 96 int input[] = {1,3,2,10,5,11, 12, 8 ,6, 7};
/*输出第７大的元素．*/ 97 int r = kselect(input,sizeof(input)/sizeof(int), 7); 98 printf("result %d \n", r); 99 return 0; 100 }
下面这个算法比较靠谱：
1 #include <iostream> 2 #include <time.h> 3 using namespace std; 4 5 const int num_array = 13; 6 const int num_med_array = num_array / 5 + 1; 7 int array[num_array]; 8 int midian_array[num_med_array]; 9 10 //冒泡排序（晚些时候将修正为插入排序） 11 /*void insert_sort(int array[], int left, int loop_times, int compare_times) 12 { 13 for (int i = 0; i < loop_times; i++) 14 { 15 for (int j = 0; j < compare_times - i; j++) 16 { 17 if (array[left + j] > array[left + j + 1]) 18 swap(array[left + j], array[left + j + 1]); 19 } 20 } 21 }*/ 22 23 /* 24 //插入排序算法伪代码 25 INSERTION-SORT(A) cost times 26 1 for j ← 2 to length[A] c1 n 27 2 do key ← A[j] c2 n - 1 28 3 Insert A[j] into the sorted sequence A[1 ‥ j - 1]. 0...n - 1 29 4 i ← j - 1 c4 n - 1 30 5 while i > 0 and A[i] > key c5 31 6 do A[i + 1] ← A[i] c6 32 7 i ← i - 1 c7 33 8 A[i + 1] ← key c8 n - 1 34 */ 35 //已修正为插入排序，如下： 36 void insert_sort(int array[], int left, int loop_times) 37 { 38 for (int j = left; j < left+loop_times; j++) 39 { 40 int key = array[j]; 41 int i = j-1; 42 while ( i>left && array[i]>key ) 43 { 44 array[i+1] = array[i]; 45 i--; 46 } 47 array[i+1] = key; 48 } 49 } 50 51 int find_median(int array[], int left, int right) 52 { 53 if (left == right) 54 return array[left]; 55 56 int index; 57 for (index = left; index < right - 5; index += 5) 58 { 59 insert_sort(array, index, 4); 60 int num = index - left; 61 midian_array[num / 5] = array[index + 2]; 62 } 63 64 // 处理剩余元素 65 int remain_num = right - index + 1; 66 if (remain_num > 0) 67 { 68 insert_sort(array, index, remain_num - 1); 69 int num = index - left; 70 midian_array[num / 5] = array[index + remain_num / 2]; 71 } 72 73 int elem_aux_array = (right - left) / 5 - 1; 74 if ((right - left) % 5 != 0) 75 elem_aux_array++; 76 77 // 如果剩余一个元素返回，否则继续递归 78 if (elem_aux_array == 0) 79 return midian_array[0]; 80 else 81 return find_median(midian_array, 0, elem_aux_array); 82 } 83 84 // 寻找中位数的所在位置 85 int find_index(int array[], int left, int right, int median) 86 { 87 for (int i = left; i <= right; i++) 88 { 89 if (array[i] == median) 90 return i; 91 } 92 return -1; 93 } 94 95 int q_select(int array[], int left, int right, int k) 96 { 97 // 寻找中位数的中位数 98 int median = find_median(array, left, right); 99 100 // 将中位数的中位数与最右元素交换 101 int index = find_index(array, left, right, median); 102 swap(array[index], array[right]); 103 104 int pivot = array[right]; 105 106 // 申请两个移动指针并初始化 107 int i = left; 108 int j = right - 1; 109 110 // 根据枢纽元素的值对数组进行一次划分 111 while (true) 112 { 113 while(array[i] < pivot) 114 i++; 115 while(array[j] > pivot) 116 j--; 117 if (i < j) 118 swap(array[i], array[j]); 119 else 120 break; 121 } 122 swap(array[i], array[right]); 123 124 /* 对三种情况进行处理：(m = i - left + 1) 125 1、如果m=k，即返回的主元即为我们要找的第k小的元素，那么直接返回主元a[i]即可; 126 2、如果m>k，那么接下来要到低区间A[0....m-1]中寻找，丢掉高区间; 127 3、如果m<k，那么接下来要到高区间A[m+1...n-1]中寻找，丢掉低区间。 128 */ 129 int m = i - left + 1; 130 if (m == k) 131 return array[i]; 132 else if(m > k) 133 //上条语句相当于if( (i-left+1) >k)，即if( (i-left) > k-1 )，于此就与2.2节里的代码实现一、二相对应起来了。 134 return q_select(array, left, i - 1, k); 135 else 136 return q_select(array, i + 1, right, k - m); 137 } 138 139 int main() 140 { 141 //srand(unsigned(time(NULL))); 142 //for (int j = 0; j < num_array; j++) 143 //array[j] = rand(); 144 145 int array[num_array]={0,45,78,55,47,4,1,2,7,8,96,36,45}; 146 // 寻找第k最小数 147 int k = 4; 148 int i = q_select(array, 0, num_array - 1, k); 149 cout << i << endl; 150 151 return 0; 152 }
