空间解析几何的一些结论

点-点#

$\large A(x_1,y_1,z_1)$

$\large B(x_2,y_2,z_2)$

距离

$d = \sqrt{(x_{1} - x_{2})^{2} + (y_{1} - y_{2})^{2} + (z_{1} - z_{2})^{2}}$
$\large d = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}$
所成直线（直线的两点式方程）

$\frac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{y - y_{1}}{y_{2} - y_{1}} = \frac{z - z_{1}}{z_{2} - z_{1}}, x_{1} \neq x_{2}, y_{1} \neq y_{2}$
$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1},x_1\ne x_2,y_1 \ne y_2$

点-线#

$\large P(x_{0},y_{0},z_{0})$

$\large M(x_1,y_1,z_1)$
$\large L:\dfrac{x-x_{1}}{m}=\dfrac{y-y_{1}}{n}=\dfrac{z-z_{1}}{p}$
$\large \vec{s}=(m,n,p)$

$\large \overrightarrow{PM}=(x_{0}-x_{1},y_{0}-y_{1},z_{0}-z_{1})$

$P \notin L$ 不在线上#

距离

$d = \frac{| \vec{P M} \times \vec{s} |}{| \vec{s} |}$
$d=\frac{\left|\overrightarrow{PM}\times \vec{s}\right|}{|\vec{s}|}$
所成平面 $\pi$

$π : A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$
$\pi:A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0$
其中 $\large \vec{n}_{\pi}=\overrightarrow{PM}\times \vec{s}=(A,B,C)$
垂线

$L : {\begin{cases} A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0 \\ m (x - x_{0}) + n (y - y_{0}) + p (z - z_{0}) = 0 \end{cases}$
$L:\begin{cases}A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0\\m(x-x_{0})+n(y-y_{0})+p(z-z_{0})=0\end{cases}$
投影点(P 在 $L$ 上的投影)

$P^{'} (m t + x_{1}, n t + y_{1}, p t + z_{1})$
$P'(mt+x_{1},nt+y_{1},pt+z_{1})$
其中

$t = - \frac{m (x_{1} - x_{0}) + n (y_{1} - y_{0}) + p (z_{1} - z_{0})}{m^{2} + n^{2} + p^{2}}$
$t=-\frac{m\left(x_{1}-x_{0}\right)+n\left(y_{1}-y_{0}\right)+p\left(z_{1}-z_{0}\right)}{m^{2}+n^{2}+p^{2}}$

$P \in L$ #

过点的垂面

π : m (x - x_{0}) + n (y - y_{0}) + p (z - z_{0}) = 0

$\pi:m(x-x_0)+n(y-y_0)+p(z-z_0)=0$

点-面#

$\large P(x_0,y_0,z_0)$
$\large \vec{n}=(A,B,C)$
$\large \pi:Ax+By+Cz+D=0$

$P\notin \pi$ 点在面上#

距离

$d = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$
$\large d=\frac{|Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}} \\$
对于平面点法式方程 $\large \pi:A(x-x_1)+B(y-y_1)+C(z-z_1)=0$ ，其中点为 $\large M(x_1,y_1,z_1)$

$\begin{aligned} d & = \frac{| \vec{P M} \cdot \vec{n} |}{| \vec{n} |} \end{aligned}$
$\begin{aligned} d&=\frac{\left|\overrightarrow{PM}\cdot\vec{n}\right|}{\left|\vec{n}\right|} \end{aligned}$
投影点

$H (A t + X_{0}, B t + Y_{0}, C t + Z_{0})$
$\large H(At+X_{0},Bt+Y_{0},Ct+Z_{0})$
其中

$t = \frac{- (A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D)}{A^{2} + B^{2} + C^{2}}$
$t=\frac{-(Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D)}{A^{2}+B^{2}+C^{2}}$
垂线

$L : \frac{x - x_{0}}{A} = \frac{y - y_{0}}{B} = \frac{z - z_{0}}{C}$
$\large L:\frac{x-x_0}{A}=\frac{y-y_0}{B}=\frac{z-z_0}{C}$

$P \in \pi$ 略#

线-线#

$\large M_1(x_1,y_1,z_1),M_2(x_2,y_2,z_2)$
$\large L_1:\dfrac{x-x_1}{m_1}=\dfrac{y-y_1}{n_1}=\dfrac{z-z_1}{p_1}$

$\large L_2:\dfrac{x-x_2}{m_2}=\dfrac{y-y_2}{n_2}=\dfrac{z-z_2}{p_2}$
$\large \vec{s_1}=(m_1,n_1,p_1)$

$\large \vec{s_2}=(m_2,n_2,p_2)$

$\large \overrightarrow{M_{1}M_{2}}=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1})$

位置关系#

[注] 以下判定按照优先级顺序排序，具体表现如平行不包括重合的情况。

$L_1=L_2$ (重合)

判定条件

$\begin{matrix} (1) & \frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{n_{1}}{n_{2}} = \frac{p_{1}}{p_{2}}, M_{1} \notin L_{2} (M 2 \notin L_{1}) \end{matrix}$
$\large \begin{equation} \frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2}=\frac{p_1}{p_2},M_1\notin L_2(M2 \notin L_1) \end{equation}$

$L_1 // L_2$ (平行)

判定条件

$\frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{n_{1}}{n_{2}} = \frac{p_{1}}{p_{2}}, M_{1} \in L_{2} (M 2 \in L_{1})$
$\large \frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2}=\frac{p_1}{p_2},M_1\in L_2(M2 \in L_1)$
距离

$\begin{aligned} d = d_{M_{1} - L_{2}} = \frac{| \vec{M_{1} M_{2}} \times \vec{s_{2}} |}{| \vec{s_{2}} |} \end{aligned}$
$\large \begin{aligned} d = d_{M_1-L_2} = \dfrac{|\overrightarrow{M_1M_2}\times\vec{s_2}|}{|\vec{s_2}|} \end{aligned}$
所成平面

$π : A (x - x_{1}) + B (y - y_{1}) + C (z - z_{1}) = 0$
$\large \pi:A(x-x_1)+B(y-y_1)+C(z-z_1)=0$
其中 $\large \vec{s_1}\times\overrightarrow{M_1M_2}=(A,B,C)$

$L_1 \cap L_2 = P$ (相交)

判定条件

[\vec{s_{1}} \vec{s_{2}} \vec{M_{1} M_{2}}] = 0

$[\vec{s_{1}}\ \vec{s_{2}}\ \overrightarrow{M_{1}M_{2}}]=0$

$[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]$ 表示三个向量的混合积

所成平面

$π : A (x - x_{1}) + B (y - y_{1}) + C (z - z_{1}) = 0$
$\large \pi:A(x-x_1)+B(y-y_1)+C(z-z_1)=0$
其中 $\large \vec{s_1}\times\vec{s_2}=(A,B,C)$
交点

$t_{1} = \frac{n_{2} (x_{2} - x_{1}) - m_{2} (y_{2} - y_{1})}{m_{1} n_{2} - m_{2} n_{1}} t_{2} = \frac{n_{1} (x_{2} - x_{1}) - m_{1} (y_{2} - y_{1})}{m_{1} n_{2} - m_{2} n_{1}}$
$\large t_1=\frac{n_2(x_2-x_1)-m_2(y_2-y_1)}{m_1n_2-m_2n_1}\\ t_2=\frac{n_1(x_2-x_1)-m_1(y_2-y_1)}{m_1n_2-m_2n_1}$
交点坐标 $\large P(m_1t_1+x_1,n_1t_1+y_1,p_1t_1+z_1)$ 或 $\large P(m_2t_2+x_2,n_2t_2+y_2,p_2t_2+z_2)$

PS：求点向式直线交点坐标的题目我没有找到，所以看看就行

$L_1$ 与 $L_2$ 异面

判定条件

$[\vec{s_{1}} \vec{s_{2}} \vec{M_{1} M_{2}}] \neq 0$
$\large [\vec{s_{1}}\ \vec{s_{2}}\ \overrightarrow{M_{1}M_{2}}]\ne0$
距离

$d = \frac{| \vec{M_{1} M_{2}} \times \vec{s} |}{| \vec{s} |}$
$\large d = \dfrac{|\overrightarrow{M_1M_2}\times\vec{s}|}{|\vec{s}|}$
其中 $\large \vec{s}=\vec{s_1}\times \vec{s_2}$

其他关系#

夹角

$\cos φ = \frac{| m_{1} m_{2} + n_{1} n_{2} + p_{1} p_{2} |}{\sqrt{m_{1}^{2} + n_{1}^{2} + p_{1}^{2}} \sqrt{m_{2}^{2} + n_{2}^{2} + p_{2}^{2}}}$
$\large \cos \varphi = \frac{\left\vert m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2\right\vert}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}}$
*垂直： $\large \vec{s_1} \bot \vec{s_2} \iff\vec{s_1}\cdot \vec{s_2} = m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2=0$
一般式 $-\!-\!\!\!\!\!\!>$ 标准式

对直线的一般式方程 $\large \begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ \\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases}$ ，带入一点 $\large M(x_0,y_0,z_0)$

$\vec{s} = (A_{1}, B_{1}, C_{1}) \times (A_{2}, B_{2}, C_{2}) = (m, n, p) L : \frac{x - x_{0}}{m} = \frac{y - y_{0}}{n} = \frac{z - z_{0}}{p}$
$\vec{s} = (A_1,B_1,C_1) \times (A_2,B_2,C_2) =(m,n,p)\\ L:\frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{p}$
标准式 $-\!-\!\!\!\!\!\!>$ 一般式

对于标准式方程 $\large L:\dfrac{x-x_0}{m} = \dfrac{y-y_0}{n} = \dfrac{z-z_0}{p}$

${\begin{cases} n x - m y + m y_{0} - n x_{0} = 0 \\ p y - n z + n z_{0} - p y_{0} = 0 \end{cases}$
$\begin{cases} nx-my+my_0-nx_0=0 \\ \\ py-nz+nz_0-py_0=0 \end{cases}$

线-面#

$\large M_1(x_0,y_0,z_0)$
$\large L:\dfrac{x-x_0}{m}=\dfrac{y-y_0}{n}=\dfrac{z-z_0}{p}$
$\large \pi:Ax+By+Cz+D=0$
$\large \vec{s}=(m,n,p),\vec{n}=(A,B,C)$

位置关系#

$L \subset \pi$

判定条件
$\vec{s} ⊥ \vec{n}, M_{0} \in π ⟺ {\begin{cases} m A + n B + p C = 0 \\ A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D = 0 \end{cases}$
$\large \vec{s}\ \bot\ \vec{n} , M_0 \in \pi \iff \begin{cases} mA + nB + pC = 0 \\ \\ Ax_0+By_0+Cz_0+D=0 \end{cases}$

$L \ //\ \pi$

判定条件
$\vec{s} ⊥ \vec{n}, M_{0} \notin π ⟺ {\begin{cases} m A + n B + p C = 0 \\ A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D \neq 0 \end{cases}$
$\large \vec{s}\ \bot\ \vec{n} , M_0 \notin \pi \iff \begin{cases} mA + nB + pC = 0 \\ \\ Ax_0+By_0+Cz_0+D\ne 0 \end{cases}$

$L\ \cap\ \pi = P$

判定条件
$\vec{s} ⊥ / \vec{n} ⟺ m A + n B + p C \neq 0$
$\large \large \vec{s}\ \bot \!\!\!\!/ \ \vec{n} \iff mA+nB+pC \neq 0$

其他关系#

过 $L$ 的垂面

$π^{'} : A^{'} (x - x_{0}) + B^{'} (y - y_{0}) + C^{'} (z - z_{0}) = 0$
$\large \pi':A'(x-x_0)+B'(y-y_0)+C'(z-z_0)=0$
其中 $\large \vec{n'} = (A',B',C') = \vec{s} \times \vec{n}$
距离

$d = d_{M - π} = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$
$\large d=d_{M-\pi} = \frac{|Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}} \\$
夹角 $\varphi$

$\begin{aligned} \cos (\frac{π}{2} - φ) = \frac{∣ \vec{n} \cdot \vec{s} ∣}{∣ \vec{n} ∣∣ \vec{s} ∣} \end{aligned}$
$\large \begin{aligned} \cos\left(\frac\pi2-\varphi\right)=\frac{\mid \vec{n}\cdot \vec{s}\mid}{\mid \vec{n}\mid\mid \vec{s}\mid} \end{aligned}$
【规定】 $0 \le \varphi \le \dfrac{\pi}{2}$
投影

$L^{'} : {\begin{cases} π : A x + B y + C z + D = 0 \\ π^{'} : A^{'} (x - x_{0}) + B^{'} (y - y_{0}) + C^{'} (z - z_{0}) = 0 \end{cases}$
$\large L': \begin{cases} \pi:Ax+By+Cz+D=0 \\ \\ \pi':A'(x-x_0)+B'(y-y_0)+C'(z-z_0)=0 \end{cases}$
其中 $\pi'$ 为 $\pi$ 过 $L$ 的垂面，上面已经讨论过。

面-面#

$\large \pi_1:A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$

$\large \pi_2:A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$
$\large$ $\large\vec{n_1}=(A_1,B_1,C_1)$

$\large \vec{n_2}=(A_2,B_2,C_2)$

位置关系#

$\pi_1=\pi_2$

判定条件
$\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{B_{1}}{B_{2}} = \frac{C_{1}}{C_{2}} = \frac{D_{1}}{D_{2}}$
$\large \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2} = \frac{D_1}{D_2}$

$\pi_1\ //\ \pi_2$

判定条件

$\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{B_{1}}{B_{2}} = \frac{C_{1}}{C_{2}} \neq \frac{D_{1}}{D_{2}}$
$\large \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\ne \frac{D_1}{D_2}$
距离

$d = d_{π_{1} - π_{2}} = \frac{| D_{1} - D_{2} |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$
$\large d=d_{\pi_1-\pi_2} = \frac{|D_1-D_2|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}} \\$

$\pi_1\ \cap\ \pi_2 = L$

判定条件

$\vec{n_{1}} / / ∖ \vec{n_{2}}$
$\large \vec{n_1} \ /\!/ \!\!\!\!\!\!\smallsetminus \vec{n_2}$
即，式

$\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{B_{1}}{B_{2}} = \frac{C_{1}}{C_{2}}$
$\large \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$
不成立
夹角 $\varphi$

$\begin{aligned} \cos φ = \frac{∣ \vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}} ∣}{∣ \vec{n_{1}} ∣∣ \vec{n_{2}} ∣} = \frac{∣ A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} + C_{1} C_{2} ∣}{\sqrt{A_{1}^{2} + B_{1}^{2} + C_{1}^{2}} \sqrt{A_{2}^{2} + B_{2}^{2} + C_{2}^{2}}} \end{aligned}$
$\large \begin{aligned} \cos\varphi=\frac{\mid \vec{n_1}\cdot \vec{n_2}\mid}{\mid \vec{n_1}\mid\mid \vec{n_2}\mid} =\frac{\mid A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}\mid}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}\sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}} \end{aligned}$
【规定】 $0 \le \varphi \le \dfrac{\pi}{2}$

其他关系#

交线 (平面束方程)
$L : {\begin{cases} π_{1} : A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0 \\ π_{2} : A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0 \end{cases}$
$\large L: \begin{cases} \pi_1:A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ \\ \pi_2:A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases}$
其中 $\pi_1\ \bot\ \pi_2$

平面束#

$\large L:\begin{cases}\pi_1:A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ \pi_2:A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases}$
$\large \pi:Ax+By+Cz+D= 0$

过L的平面与 $\pi$ 的交线

$L^{'} : {\begin{cases} π^{'} : A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} + λ (A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2}) = 0 \\ π : A x + B y + C z + D = 0 \end{cases}$
$L':\large \begin{cases}\pi':A_1x+B_1y+C_1z+D_1+\lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0 \\ \\\pi:Ax+By+Cz+D= 0\end{cases}$
过L且与 $\pi$ 成 $\theta$ 的平面

$\cos θ = \frac{| \vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}} |}{| \vec{n_{1}} | | \vec{n_{2}} |}$
$\cos \theta = \frac{\left|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}\right|}{\left|\vec{n_1}\right|\left|\vec{n_2}\right|}$
解上述方程，其中

$\begin{aligned} \vec{n_{1}} & = (A_{1} + λ A_{2}, B_{1} + λ B_{2} ， B_{1} + λ B_{2}) \\ \vec{n_{2}} & = (A, B, C) \end{aligned}$
$\begin{aligned} \vec{n_1} &= (A_1 + \lambda A_2,B_1 + \lambda B_2，B_1 + \lambda B_2) \\ \vec{n_2} &= (A, B, C) \end{aligned}$
- 若 $\lambda$ 有解，则 $\pi'$ 为所求平面；
- 若 $\lambda$ 无解，则 $\pi_2$ 为所求平面。

posted @ 2023-11-02 21:04 云烟万象但过眼阅读(33) 评论(0) 编辑收藏举报

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$P \notin L$ 不在线上#

$P \in L$ #

点-面#

$P\notin \pi$ 点在面上#

$P \in \pi$ 略#

线-线#

位置关系#

$L_1=L_2$ (重合)

$L_1 // L_2$ (平行)

$L_1 \cap L_2 = P$ (相交)

$L_1$ 与 $L_2$ 异面

其他关系#

线-面#

位置关系#

$L \subset \pi$

$L \ //\ \pi$

$L\ \cap\ \pi = P$

其他关系#

面-面#

位置关系#

$\pi_1=\pi_2$

$\pi_1\ //\ \pi_2$

$\pi_1\ \cap\ \pi_2 = L$

其他关系#

平面束#

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P∉LP \notin L 不在线上#

P∈LP \in L#

点-面#

P∉πP\notin \pi点在面上#

P∈πP \in \pi 略#

线-线#

位置关系#

L1=L2L_1=L_2 (重合)

L1//L2L_1 // L_2 (平行)

L1∩L2=PL_1 \cap L_2 = P(相交)

L1L_1 与 L2L_2 异面

其他关系#

线-面#

位置关系#

L⊂πL \subset \pi

L // πL \ //\ \pi

L ∩ π=PL\ \cap\ \pi = P

其他关系#

面-面#

位置关系#

π1=π2\pi_1=\pi_2

π1 // π2\pi_1\ //\ \pi_2

π1 ∩ π2=L\pi_1\ \cap\ \pi_2 = L

其他关系#

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$P\notin \pi$ 点在面上#

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$L_1=L_2$ (重合)

$L_1 // L_2$ (平行)

$L_1 \cap L_2 = P$ (相交)

$L_1$ 与 $L_2$ 异面

$L \subset \pi$

$L \ //\ \pi$

$L\ \cap\ \pi = P$

$\pi_1=\pi_2$

$\pi_1\ //\ \pi_2$

$\pi_1\ \cap\ \pi_2 = L$