Bell数列的生成函数推导
初赛题做到 Bell 数列了，就写一篇看看吧。
虽说这和很多其他数列有关，但是我就暂时只写一篇自己能看懂的 Bell 数列生成函数推导。
在此，我大哥显然已经 AK 了，而我却只是貌似懂了，所以希望指正错误。
定义： Bell 数列第 n 项的定义是把 1∼n 的正整数分配到若干个集合中的方案数.
用 \(w_n\) 表示 Bell 数列:
\[\begin{aligned}
\large w_{n + 1}
&= [n = 0] + \sum_{i=0}^n \dbinom{n}{i} w_{n-i} \\
&= [n = 0] + \sum_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i} w_i \\
\end{aligned}
\]
设其生成函数为 \(\hat{W(x)}\), 根据指数型生成函数卷积，有：
\[\begin{aligned}
& e^x=\sum_0^\infty \dfrac{x^i}{i!}(\mathrm{Taylor's\ Formula}), \hat{W(x)} = \sum_{i=0}^\infty w_i \dfrac{x^i}{i!}\\
\iff &e^x \hat{W(x)} = \sum_{i=0}^\infty (\sum_{j=0}^i \dbinom{i}{j}w_j \times 1)\dfrac{x^i}{i!} = \sum_{i=0}^\infty w_{i+1} \dfrac{x^i}{i!} \\
\iff &\int e^x \hat{W(x)} \mathrm{d}x = \hat{W(x)}-1 \\
\end{aligned}
\]
其中积分的效果相当于平移：
\[\int \sum_0^\infty f_i \dfrac{x^i}{i!} = \sum_1^\infty f_{i-1} \dfrac{x^i}{i!}
\]
设 \(y = \hat{W(x)}\)，两边同时先微分，再积分：
\[\begin{aligned}
&\int e^x y\mathrm{d}x =y-1 \\
两边同时微分& \iff e^x y=y' \iff \dfrac{y'}{y} = e^x \\
两边同时积分& \iff\int \dfrac{1}{y}y'\mathrm{d}x=\int e^x\mathrm{d}x \iff \ln y = e^x +C\\
&\iff y=e^{e^x+C}
\end{aligned}
\]
因为 \(\hat{W(x)}=w_0 =[n=0]=1=e^{e^x+C}\), 解得 \(C=-1\)
故 \(\hat{W(x)} = e^{e^x-1}\)
