正睿2020普转提【第六套】游戏

T3

题目

有一天杜教与睿爸在争论谁才是\(OI\)界一哥，他们激烈辩论了半天也没有个结果。

于是毛总想了一个注意，他制作了一个游戏来帮助他们决定胜负。

游戏规则是这样的：

游戏中一共有\(n\)个大小为\(2\)的栈。两人轮流操作，睿爸先手。

每个人每次可以取出一个栈顶的元素，获得对应的收益。具体来说：第\(i\)个栈的栈顶的元素给睿爸的收益是\(a_i\) , 给杜教的收益是\(b_i\) ，栈底的元素给睿爸的收益是\(c_i\) ，给杜教的收益是\(d_i\) 。

同时，双方由于在这件事上面拱起了大火，所以双方博弈的目的都是要求自己的收益减去对面的收益最大。

由于双方都是\(OI\)界扛把子，智慧过人，所以他们都会采取对自己最优的决策。

睿爸最终想知道玩完游戏后他的收益减去杜教的收益是多少。

Solution

看起来像博弈的贪心。

我们设第\(i\)个元素给先手收益为\(x_i\)（取得的\(a_i\)或\(c_i\)）,给后手收益为\(y_i\)（\(b_i\)或\(d_i\)）

设先手最后取得元素集合为\(A\)，全集为\(U\)

我们对答案进行观察

\[\begin{aligned} ans &= max{\sum_{i∈A}x_i -\sum_{i∉A}y_i} \\ &= max{\sum_{i∈A} (x_i + y_i) - \sum_{i∈U} y_i} \end{aligned} \]

你会发现这个结论是如此显然。

显然全集中\(y_i\)的总和是一个定值，那么我们的目的就是让\((x_i + y_i)\)最大。

\((x_i + y_i)\)是啥？是\(a_i + b_i\)或\(c_i + d_i\)

两者目的相同，接下来考虑一些必然策略。

• 对于\(a_i + b_i <= c_i + d_i\)，总是先手取栈顶，后手取栈底。当先手取栈顶之后，后手一定可以取栈底，而后手不会主动取栈顶。

  说明（非证明）：若后手在先手取完栈顶之后不取栈底而去取另一个更大的栈顶，那么根据希望\((x_i + y_i)\)最大，一开始先手就一定会取那个更大的栈顶。

然后可以先排除所有\(a_i + b_i <= c_i + d_i\)的栈，因为所属已经确定。

• 对于\(a_i + b_i > c_i + d_i\)，可以吧所有元素取出排序，再按照先手后手依次取。因为满足上式，所以不会存在先手想取的更大元素处于栈底的冲突。

\(\mathrm{Code:}\)

#include <algorithm>
#include <iostream>
const int N = 20010;
int n;

template <class T>
inline void read(T &s) {
    int w  = 1;
    char c = getchar();
    while ((c < '0' || c > '9') && c != '-') c = getchar();
    if (c == '-') w = -1, c = getchar();
    while (c <= '9' && c >= '0')
        s = (s << 3) + (s << 1) + c - '0', c = getchar();
    s *= w;
}
template <class T>
inline void write(T x) {
    if (x < 0) x = ~x + 1, putchar('-');
    if (x > 9) write(x / 10);
    putchar(x % 10 + 48);
    return void();
}
int bb[N], cnt = 0, A = 0, B = 0;
int ans1 = 0, ans2 = 0;
int a, b, c, d;

inline bool cmp(int x, int y) { return x > y; }
main() {
    freopen("dortmund.in", "r", stdin);
    freopen("dortmund.out", "w", stdout);
    read(n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        a = b = c = d = 0;
        read(a), read(b), read(c), read(d);
        A += a + c;
        B += b + d;
        if (a + b > c + d)
            bb[++cnt] = a + b, bb[++cnt] = c + d;
        else
            ans1 += a + b, ans2 += c + d;
    }
    std ::sort(bb + 1, bb + cnt + 1, cmp);
    for (int i = 1; i <= cnt; ++i) i & 1 ? ans1 += bb[i] : ans2 += bb[i];
    write(ans1 - B);
    return 0;
}