Codeforce 1982B Collatz Conjecture
假定每次整除平均需要 \(q\) 次，复杂度 \(O(qn),qn\ge10^9\)，显然不行。
出题人友好的用第三组样例提示了数组的循环性（我咋知道，他又没给完），加之题目背景和 \(3n+1\) 问题有关，所以也能和循环扯上关系，不妨从这个角度考虑。
既然题目背景有暗示，多测几组数据也能看出来（反正我是没看出来），这个数会在不断地迭代过程中变为 1，然后在 1 到 \(y-1\) 中循环。
下面推一下官解的公式：
- 第一步优化归一后的结果求解，这个循环的周期是 \(y-1\)，现在还剩 \(k\) 次计算，整个变化的数组长这样
\[\{{x,\cdots,1,\cdots ,y-1,1\cdots ,y-1\}}
\]
众所周知（我还真不是很知），\(k\bmod y-1\) 的取值是 \(\{{0,\cdots,y-2\}}\) ，所对应的值应当是 \(\{{1,\cdots,y-2\}}\)，所以将剩余 \(k\) 次运算转化为结果就是（前提是 \(k\) 次运算后能够将给的 \(x\) 归一）
\[ans=1+k\bmod(y-1)
\]
不能归一的话怎么办呢，最简单的就是直接把这个时候的 \(x\) 输出，但是官解压行了，因为这时候 \(k=0\)，显然有
\[ans=x+0\bmod(y-1)=x
\]
合并两类，推出最终公式：
\[ans=x+k\bmod(y-1)
\]
- 只做第一步优化连样例都过不了，因为数据给大之后凑整除需要的累加次数也会很大，很容易就超了，所以还要优化累加操作。
比如要让 \(16\) 被 \(5\) 整除，很容易想到要凑 \(20\)，也就是说找到 \(5\) 在 \(16\) 后的一个倍数，首先确定 \(5\) 在 \(16\) 大约是 \(\frac{16}{5}\) 倍，显然下一个倍数就是 \(\lceil\frac{16}{5}\rceil\times5=20\)，也就是说，每次直接加上
\[op=\lceil\frac{x}{y}\rceil\times y-x
\]
就行了。
当然如果这里使用 ceil 做取整运算还是超，因为这玩意其实是 double __cdecl ceil(double _X);，并非是对整型的运算，算多了效率挺低，因此数学代换一下就成了（当然这个除是整除）：
\[op=(\frac{x}{y}+1)\times y-x
\]
第一个公式单从数学意义上来说，对于 \(y\in Z,op\ge x\ge0\) 好像没问题，但不要忘了这是整除，会出现 \(\frac xy=0\) 的情况，因此要确保每次至少加 \(1\)，同时还要确保每次累加操作不超过当前的剩余操作次数 \(k\)。
由于每次加都至少可以整除一次，所以每次操作至少将当前数减少
\[\lceil\frac{x+1}{y}\rceil,y\ge2
\]
显然时间复杂度优于二分，为 \(O(\log n)\)。
