多项分布概率公式的理解

多项分布是二项分布的推广。二项分布（也叫伯努利分布）的典型例子是扔硬币，硬币正面朝上概率为p, 重复扔n次硬币，k次为正面的概率即为一个二项分布概率。而多项分布就像扔骰子，有6个面对应6个不同的点数。二项分布时事件X只有2种取值，而多项分布的X有多种取值，多项分布的概率公式为

P (X 1 = x 1, \dots, X k = x k) = {n ! x 1 ! , \dots , x k ! p x 1 \dots p x k when \sum k i = 1 x i = n 0 otherwise.

这个公式看上去像是莫名其妙地冒出来的，想要了解它首先必须要知道组合数学中的多项式定理。

多项式定理：当n是一个正整数时,我们有

(x 1 + x 2 + \dots + x k) n = \sum n ! r 1 ! r 2 ! \dots r k ! x r 1 1 \dots x r k k

其中r1+…+rk=n,ri≥0。

这个多项式定理的推导如下，将式子左边展开

(x 1 + x 2 + \dots + x k) n = (x 1 + x 2 + \dots + x k) \dots (x 1 + x 2 + \dots + x k)

这样的话，我们可以把问题看成在n个式子里，先选取r1个x1，然后选取r2个x2，最后选取rk个xk，然后求有多少种方法。类似把n个球放到k个不同的盒子里的方法有多少种,我们得到

C r 1, r 2, \dots r k n = C r 1 n C r 2 n - r 1 \dots C r k n - r 1 \dots - r k - 1 = n ! r 1 ! r 2 ! \dots r k !

所以xr11xr22…xrkk的系数为Cr1,r2,…rkn，这样，我们就能得到展开式的通式。举个例子，当k=2时，我们就得到了常见的二项式公式：

(a + b) n = \sum i = 0 n C i n a i b n - i

再来看之前的多项分布的概率公式，假设X1,X2,…,Xk发生的概率为p1,p2,…,pk，由于事件之间是相互独立的，可得p1+p2+…+pk=1。我们将p1+p2+…+pk=1式子的左边看做一次抽样各种事件发生的概率和，那么(p1+p2+…+pk)n=1n=1则是进行了n次抽样所有事件相互组合的对应概率和。把这个多项式展开，它的每一项都对应着一个特殊事件的出现概率。我们把展开式的通项作为X1出现x1次，X2出现x2次，…，Xk出现xk次的这种事件的出现概率，这样就得到了多项分布的概率公式。

posted @ 2015-03-21 14:27 菜鸡一枚阅读(8686) 评论(0) 编辑收藏举报

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