贝塞尔曲线（Bezier Curve）原理及公式推导

贝塞尔曲线（Bezier Curve）原理及公式推导

 

贝塞尔曲线 (Bezier curve) 由法国数学家 Pierre Bezier 于 1962 年提出的一种矢量曲线

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贝塞尔曲线(Bezier curve)，又称贝兹曲线或贝济埃曲线，是应用于二维图形应用程序的数学曲线。一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线，贝兹曲线由线段与节点组成，节点是可拖动的支点，线段像可伸缩的皮筋，我们在绘图工具上看到的钢笔工具就是来做这种矢量曲线的。贝塞尔曲线是计算机图形学中相当重要的参数曲线，在一些比较成熟的位图软件中也有贝塞尔曲线工具，如PhotoShop等。

贝塞尔曲线的特性

 

​一、贝塞尔曲线直观理解（以二阶贝塞尔曲线为例）

​Step1：在二维平面内选三个不同的点并依次用线段连接。

任意三点得折线

Step2：在线段AB和BC上找到D、E两个点，使得AD/DB=BE/EC。

找到两个点，且比例相等

Step3： 连接DE，并在DE上找到F点，使其满足 DF/FE=AD/DB=BE/EC  抛物线的三切线定理)。

DF/FE=BE/EC=AD/DB

Step4：找出符合上述条件的所有点。

二阶贝塞尔曲线

​上述为一个二阶贝塞尔曲线，当然，也有n阶贝塞尔曲线：

一阶贝塞尔曲线三阶贝塞尔曲线四阶贝塞尔曲线五阶贝塞尔曲线

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二、公式推导

​1、一阶贝塞尔曲线（线性公式）

一阶贝塞尔曲线定义一阶贝塞尔曲线图示一阶贝塞尔曲线公式推导过程

​2、二阶贝塞尔曲线（二次方公式）

二阶贝塞尔曲线定义二阶贝塞尔曲线图示二阶贝塞尔曲线公式推导过程

3、三阶贝塞尔曲线（三次方公式）

​同理可得三次贝塞尔曲线公式：

三阶贝塞尔曲线公式

4、n阶贝塞尔曲线（一般参数公式）

n阶贝塞尔曲线定义n阶贝塞尔曲线公式

这就是德卡斯特里奥算法（De Casteljau’s algorithm）。

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【参考文献：

①https://blog.csdn.net/cfan927/article/details/104649623；

②https://blog.csdn.net/sinat_35676815/article/details/120884682  】​​​​